北京市昌平区第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

2023北京昌平一中高二（上）期中 数 学 考场号： 座位号： 姓名： 本试卷共3页，满分150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1)直线的倾斜角为( ) (A) 30° (B) 60° (C) 120° (D) 150° (2)圆 与圆( 的位置关系是( ) (A) 相交 (B) 内切 (C) 外切 (D) 相离 (3)在空间四边形OABC中, 点M在OA上,且 N为BC的中点，则=( ) (4) 若直线与圆 相切，则实数的值为( ) (B)±1 (5)已知平面平面. 下列结论中正确的是( ) (A)若直线平面,则 (B)若平面平面α,则 (C) 若直线直线,则 (D)若平面直线, 则 (6)设“”是“直线与直线 平行”的( ) (A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (7)已知直线, 则下述论断正确的是( ) (A)直线不可能经过坐标原点 (B)直线的斜率可能为0 (C)直线的倾斜角不可能是 (D)直线恒过定点 (8) 在正三棱锥中, 则直线与平面所成角的大小为( ) (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° (9)若圆上存在点, 直线上存在点,使得 则实数的取值范围为( ) (A) (C) (10) 棱长为1的正方体 中，若点P为线段上的动点(不含端点)，则下列结论错误的是( ) (A) 平面平面 (B)四面体 的体积是定值 (C)△APD₁可能是钝角三角形 (D)直线与所成的角可能为 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 (11)设平面的法向量分别为 若 则 . (12)在空间直角坐标系中, 已知点, 则直线与所成角的大小是 . (13)设直线过点，其倾斜角的余弦值为则直线的方程为 . (14)在空间直角坐标系中,若点,且则 的值为 . (15)在平行六面体中，所有棱长均为1，且AB⊥AD, 则线段的长度为 (16) 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线G： 就是其中之一. 给出下列四个结论： ① 曲线G 有且仅有四条对称轴； ② 曲线G上任意两点之间的距离的最大值为6； ③曲线G恰好经过9个整点(即横坐标、纵坐标均为整数的点)； ④ 曲线G所围成的区域的面积为. 其中，所有正确结论的序号是 。 三、解答题共5小题，每小题14分，共70分。解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (17)(本小题14分) 已知 的三个顶点分别是. (Ⅰ)求边 AB所在直线的方程，以及这条边上的高所在直线的方程； (Ⅱ)求 的面积. (18)(本小题 14分) 如图，在三棱柱 中，四边形是边长为4的正方形，再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答. (Ⅰ)求证: 平面 (Ⅱ)求直线BC与平面. 所成角的正弦值. 条件①: BC=5;条件②: 条件③：平面 平面 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. (19)(本小题14分) 已知圆 内有一点 P(2,2),过点P作直线交圆于两点. (Ⅰ)当直线经过圆心时，求直线的方程； (Ⅱ) 当点平分弦时，求直线的方程； (Ⅲ) 当弦长时，求直线的方程. (20)(本小题14分) 如图, 平面,. (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求二面角的余弦值; (Ⅲ)若点到平面的距离为 求三棱锥的体积. (21)(本小题14分) 在平面直角坐标系xOy中，定义两点间的“直角距离”为 (Ⅰ) 填空：(直接写出结论) ①若, 则 ②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ； ③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封