2023届北京市海淀区高考数学模拟试卷（5月份）

2023年北京市海淀区高考数学模拟试卷（5月份） 一、选择题（本大题共4小题每小题4分，满分16分） 1．（4分）方程在区间[0，4π）上的解的个数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（4分）已知直线l∥平面α，平面β⊥平面α，则以下关于直线l与平面β的位置关系的表述（　　） A．l与β不平行 B．l与β不相交 C．l不在平面β上 D．l在β上，与β平行，与β相交都有可能 3．（4分）设三角形ABC是位于平面直角坐标系xOy的第一象限中的一个不等边三角形，该平面上的动点P满足：|PA|2+|PB|2+|PC|2＝|OA|2+|OB|2+|OC|2，已知动点P的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 4．（4分）已知y＝f（x）与y＝g（x）皆是定义域、值域均为R的函数，f（x）＜g（x）恒成立（x）与y＝g（x）的反函数y＝f﹣1（x）、y＝g﹣1（x）均存在，命题P：“对任意x∈R，f﹣1（x）＞g﹣1（x）恒成立”，命题Q：“函数y＝f（x）+g（x），以下关于这两个命题的真假判断，正确的是（　　） A．命题P真，命题Q真 B．命题P真，命题Q假 C．命题P假，命题Q真 D．命题P假，命题Q假 二、填空题（本大题共12小题每小题5分，满分60分） 5．（5分）函数f（x）＝log2（x﹣2）的定义域是 　 　． 6．（5分）已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为π，则该圆锥的侧面积为　 　． 7．（5分）等差数列{an}中，a3+a10＝25，则其前12项之和S12的值为　 　 8．（5分）幂函数y＝xk的图象经过点，则它的单调减区间为　 　 9．（5分）三角形ABC中，A＝45°，B＝75°，则BC边的长为　 　 10．（5分）已知a是实数，方程x2+2x+a＝0的两根在复平面上对应的点分别为P和Q，若三角形POQ是等腰直角三角形，则a＝　 　 11．（5分）设实数x、y满足|x|+|y|≤1，则2x+y的最大值为　 　 12．（5分）已知偶函数y＝f（x）的定义域为R，且当x≥0时，f（x），则不等式xf（x）≤5的解为　 　 13．（5分）等比数列{an}的首项为1，公比为3，则极限　 　 14．（5分）甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为a与b，乙的骰子的点数为c　 　（用最简分数表示） 15．（5分）已知a是实数，在（1+ax）8的二项展开式中，第k+1项的系数为（k＝0，1，2，3，…，8），若c1＜c2＜c3＜…＜c9，则a的取值范围为　 　 16．（5分）设P1，P2，P3，…，P8是平面直角坐标系中的一个正八边形，点Pi的坐标为（xi，yi）（i＝1，2，…，8），集合A＝{y|存在i∈{1，2，…，8}i}，则集合A的元素个数可能为 　 　（写出所有可能的值） 三、解答题（本大题共5小题每小题4-12分，满分44分） 17．（8分）如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧的中点． （1）求异面直线PA1与BC所成的角的大小； （2）求点B1到平面PAC的距离． 18．（8分）已知α、λ是实常数，f（x）＝． （1）当λ＝1，α＝时，求函数y＝f（x）； （2）是否存在λ，使得f（x）是与α有关的常数函数（即f（x），求出所有满足条件的λ，若不存在 19．（8分）已知a是实常数，a＞0，． （1）当a＝2时，判断函数y＝f（x）在区间[1，并说明理由； （2）写出一个a的值，使得f（x）＝0在区间（0，+∞），并严格证明你的结论． 20．（10分）设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点． （1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值； （2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值； （3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程． 21．（10分）设各项均为整数的无穷数列{an}满足：a1＝1，且对所有n∈N*，|an+1﹣an|＝n均成立． （1）写出a4的所有可能值（不需要写计算过程）； （2）若{a2n﹣1}是公差为1的等差数列，求{an}的通项公式； （3）证明：存在满足条件的数列{an}，使得在该数列中，有无穷多项为2019