第五章６ 二元一次方程与一次函数-【良师教案】2023-2024学年八年级上册数学同步教案（北师大版）

于那时受到我国古代文化的影响,西方近代科学文化未能及时在我国广泛传播 和产生较大的影响,因此“代数学”连同“相等式”等这些学科或概念都只有极少 数人在学习和研究．１９世纪中叶,近代西方数学再次传入我国．１８５９年,李善兰 和英国传教士伟烈亚力将英国数学家德􀅰摩尔根的«代数初步»译出．李善兰、伟 烈亚力二人很注重数学名词翻译的正确性,他们借用或创设了近四百个数学的 汉译名词,许多一直沿用至今．其中,“equation”的译名就是借用了我国古代的 “方程”一词．这样,“方程”一词首次意为“含有未知数的等式”． １８７３年,我国近代早期的又一个西方科学的传播者华蘅芳,与英国传教士傅 兰雅合译英国渥里斯的«代数学»,他们则把“equation”译为“方程式”．他们的意思 是,“方程”与“方程式”应该区别开来,方程与«九章算术»中“方程”的意思相同,而 方程式是指“含有未知数的等式”．华衡芳、傅兰雅的主张在很长时间里被广泛采纳． 直到１９３４年,中国数学学会对名词进行审查,确定“方程”与“方程式”两者意义相 通．在广义上,它们是指一元n 次方程及由几个方程联立起来组成的方程组,狭义 上则专指一元n次方程．既然“方程”与“方程式”同义,那么“方程”就显得更为简洁 明了． ６　二元一次方程与一次函数 １．理解一次函数与二元一次方程组的关系,会用图象法解二元一次方程组． ２．学习用函数的观点看待方程组的方法,进一步感受数形结合的思想方法． ３．培养学生的数形结合的思想及用函数观点看待数学问题的辩证思想． 重点 对二元一次方程组与两直线交点坐标之间的关系的理解． 难点 对应关系的理解及对实际问题的探究． 多媒体课件． 讲练结合． ６９１ {#{QQABDYYAggAoABJAAAgCUwEyCACQkAEAACoOhBAIsAABQBNABAA=}#} 一、回顾旧知,引入新课 我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法,如可以用代入法, 也可以用加减法．我们如何用函数的观点来看待方程组的解呢? 我们知道,任何一个二元一次方程组都可以转化为y＝kx＋b的形式,也就是 说,每个二元一次方程都对应一个一元一次函数,于是它也就对应一条直线．任何 一个二元一次方程组都可以看成是两个一次函数的组合,也就对应两条直线． 例如:３x＋５y＝８ , ２x－y＝１{ 可化为 y＝－ ３ ５x＋ ８ ５ , y＝２x－１． ì î í ïï ï (∗) 对于(∗),根据方程组的解的意义和函数的观点,就是求当x 取什么数值 时,两个一次函数的y 值相等? 它反映在图象上,就是求直线y＝－ ３ ５x＋ ８ ５ 和 直线y＝２x－１的交点坐标,这样我们可以利用画图象的方法求交点的坐标,进 而求得二元一次方程组的解． 二、讲授新课 想一想:根据下列图象(如图５ １２),你能说出这些图象表示的是哪些方程 组的解吗? 这些解是什么? 图５ １２ 注:此题忽略解方程组与画图象这些已会环节,让学生直观感受本节课的主题． 练一练:利用函数图象解方程组:２x－y＝０ , ３x＋２y＝７．{ 师:这两个二元一次方程各对应一个一次函数,也就是各对应一条直线．如 果这两条直线有交点,那么交点坐标就是这个方程组的解． 让学生自己练习画直线,再求出方程组的解． x y l1 l2 O 2 1 图５ １３ 生:由２x－y＝０可得y＝２x,由３x＋２y＝７可得y ＝－ ３ ２x＋ ７ ２． 在同一直角坐标系内作出一次函数y＝２x 的图象l１ 和y＝－ ３ ２x＋ ７ ２ 的图象l２,如图５ １３所示．观察图象, 得出l１和l２的交点为(１,２)． ７９１ 　第五章　二元一次方程组 {#{QQABDYYAggAoABJAAAgCUwEyCACQkAEAACoOhBAIsAABQBNABAA=}#} 所以方程组 ２x－y＝０, ３x＋２y＝７{ 的解为 x＝１, y＝２．{ 总结１:两个一次函数图象的交点坐标等价于二元一次方程组的解． 再想想:你能否通过画图象求直线y＝３x＋９与直线y＝２x－７的交点坐标? 学生先思考,再进行讨论． 师:前面讲过,两条直线的交点坐标就是方程组的解,如果我们能先求出方 程组的解,那么它就是两直线的交点坐标． 学生恍然大悟,连连点头．让学生自己写出过程,教师予以纠正． 总结２:二元一次方程组的解等价于两个一次函数图象的交点坐标． 师:一般地,以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次 函数的图象相同,是一条直线．从图形的角度看,确定两条直线交点的坐标,相当 于求相应的二元一次方程组的解;解一个二元一次方程组相当于确定相应两条 直线交点的坐标． 下面我们再来看一个问题: 师:如图５ １４,在同一直角坐标系内,一次函数y＝x＋１和y＝x－２的图 象有怎样的