第2章 等式与不等式 章末整合(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教B版2019）

　 　 　 Ｃ. ７ ｍ Ｄ. ７. ２ ｍ ３. 已知 ｘ > ０ꎬｙ > ０ꎬ２ｘ ＋ ３ｙ ＝ ６ꎬ则 ｘｙ 的最大值 为　 　 　 　 . ４. 若 ａꎬｂ∈(０ꎬ ＋ ∞ )ꎬ满足 ａ ＋ ｂ ＋ ３ ＝ ａｂꎬ则 ａ ＋ ｂ 的取值范围是　 [６ꎬ ＋ ∞ ) . ５. 若对任意 ｘ > ０ꎬ ｘ ｘ２ ＋ ３ｘ ＋ １ ≤ａ 恒成立ꎬ则 ａ 的 取值范围是　 　 　 　 　 . 请同学们认真完成练案[１６] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 章末整合 知识结构􀅰理脉络 等 式 与 不 等 式 等式 等式的性质与方程的解集 一元二次方程:ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０(ａ≠０) 求根公式:ｘ ＝ － ｂ ± ｂ ２ － ４ａｃ ２ａ 根与系数的关系:ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ － ｂ ａ ꎬｘ１ｘ２ ＝ ｃ ａ ì î í ï ï ï ï 方程组的解集 二元一次方程组 三元一次方程组 二元二次方程组 ì î í ïï ï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ïï 不 等 式 不等关系与不等式 不等式的概念 实数(代数式)大小的比较 依据 ａ － ｂ < ０⇔ａ < ｂ ａ － ｂ ＝ ０⇔ａ ＝ ｂ ａ － ｂ > ０⇔ａ > ｂ ì î í ïï ï 基本方法:作差法、作商法 ì î í ï ïï ï ï 不等式的性质:对称性、传递性、可加性、可乘性 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï 一元二次不等式及其解法 概念 解法 因式分解法、配方法 含参不等式的解法{ 应用 解分式不等式———化归为整式不等式 从实际问题中建立一元二次不等式模型{ ì î í ï ï ï ï ï ï 均值不等式 内容:ａ ＋ ｂ２ ≥ ａｂ(ａ > ０ꎬｂ > ０)ꎬ当且仅当 ａ ＝ ｂ 时ꎬ等号成立 证明 几何证明 代数证明{ 应用 比较大小 证明不等式 求最值 积定和最小 和定积最大{ ù û ú ú 具备条件 　 一正、二定、三相等 解决实际问题 ì î í ï ï ï ï ï ï ì î í ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 057 {#{QQABLYQEggAAAAJAAAgCQwVSCgCQkBGACIoOxAAAoAABQANABAA=}#} 要点梳理􀅰晰精华 　 　 １.不等式基本性质中注意问题 (１)不等式的基本性质中性质 ４、６ 要注意 符号ꎬ另外还有一些常用的结论ꎬ同学们也要掌 握. 如:“ａ > ｂ 且 ａｂ > ０ꎬ则１ａ < １ ｂ ”ꎬ“ａ > ｂꎬｃ < ｄꎬ 则ａ － ｃ > ｂ － ｄ”ꎬ“ａ > ｂ > ０ꎬｃ > ｄ > ０ꎬ则 ａｄ > ｂ ｃ ” . 在使用这些性质时ꎬ要注意上述各不等式成立 的条件. (２)不等式的基本性质中ꎬ对表达不等式性 质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向 的ꎬ也就是说ꎬ每条性质是否具有可逆性. 运用 不等式的基本性质解答不等式问题时ꎬ要注意 不等式成立的条件ꎬ否则将会出现一些错误. 　 　 ２.一元二次不等式的解法 判别式 Δ ＝ ｂ２ － ４ａｃ Δ > ０ Δ ＝ ０ Δ < ０ 二 次 函 数 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ( ａ > ０ ) 的 图像 一元二次方 程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０( ａ > ０) 的根 有两相异实数根 ｘ１ ＝ － ｂ － Δ ２ａ ꎬ ｘ２ ＝ － ｂ ＋ Δ ２ａ (ｘ１ < ｘ２) 有两相等实数 根 ｘ１ ＝ ｘ２ ＝ － ｂ２ａ 没有实数根 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ > ０ ( ａ > ０ ) 的解集 {ｘ ｜ ｘ < ｘ１ꎬ或 ｘ > ｘ２} { ｘ ｘ∈Ｒꎬ ｘ ≠ － ｂ２ａ } Ｒ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ < ０ ( ａ > ０ ) 的解集 {ｘ ｜ ｘ１ < ｘ < ｘ２} ⌀ ⌀ 　 　 ３. 一元二次方程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０(ａ≠０)的 两根为 ｘ１ꎬｘ２ꎬ则 ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ － ｂ ａ ꎬｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ｃ ａ ꎬ若 ｂｃ ＝ ０ 时ꎬ关系式仍然成立. 　 　 ４. 不等式组、简单分式不等式、绝对值不等 式的解法 (１)不等式组的解集等于组成该不等式组 的每个不等式解集的交集. (２)解简单分式不等式应等价转化为整式 不等式(整式不等式组)求解. (３)解绝对值不等式可根据绝对值的几