3.1.2 函数的单调性(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教B版2019）

　 　 　 ３. １. ２　 函数的单调性 素养目标􀅰定方向 课程标准 借助函数图像ꎬ会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值ꎬ理解函数的平均变化率ꎬ理 解它们的作用和实际意义. 核心素养 数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算 第 １ 课时　 单调性的定义与证明 必备知识􀅰探新知 　 　 一、函数单调性的定义 　 　 设函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的定义域为 Ａꎬ且 Ｍ⊆Ａꎬ如 果对　 任意 ｘ１ꎬｘ２∈Ｍ　 ꎬ当 ｘ１ < ｘ２ 时ꎬ 函数 增函数 减函数 图像 条件 都有 ｆ(ｘ１) < ｆ(ｘ２) 都有 ｆ(ｘ１) > ｆ(ｘ２) 结论 在 Ｍ 上是增函数 在 Ｍ 上是减函数 　 　 思考 １:若把增、减函数定义中的“任意 ｘ１ꎬ ｘ２”改为“存在 ｘ１ꎬｘ２”可以吗? 对 应 训 练 １. 函数 ｆ(ｘ) ＝ ２ 在[ － ２ꎬ４]上的单调性为 ( Ｄ ) Ａ. 减函数　 　 　 　 　 Ｂ. 增函数 Ｃ. 先减后增 Ｄ. 不具有单调性 ２. 对于函数 ｙ ＝ ｆ( ｘ)ꎬ在给定区间内有两个值 ｘ１、ｘ２ꎬ且ｘ１ < ｘ２ꎬ使 ｆ(ｘ１) < ｆ(ｘ２)成立ꎬ则 ｙ ＝ ｆ(ｘ) ( Ｄ ) Ａ. 一定是增函数 Ｂ. 一定是减函数 Ｃ. 可能是常数函数 Ｄ. 单调性不能确定 　 　 二、函数的单调性与单调区间 　 　 函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在区间 Ｍ 上是增函数或减函 数ꎬ则函数在区间 Ｍ 上具有单调性ꎬ区间 Ｍ 称 为函数的单调区间ꎬ分别称为单调递增区间或 单调递减区间. 思考 ２:“函数 ｆ( ｘ)的单调增(减)区间是 Ｄ”与“函数 ｆ(ｘ)在区间 Ｄ 上是增(减)函数”是 否相同? 对 应 训 练 １. 函数 ｙ ＝ ｆ( ｘ)的图像如图所示ꎬ其增区间是 　 [ － ３ꎬ１]　 . ２. 函数 ｆ ( ｘ) ＝ － ｘ２ － ２ｘ 的单调递增区间 是　 ( － ∞ ꎬ － １]　 . ３. 若 ｙ ＝ (２ｋ － １)ｘ ＋ ｂ 是 Ｒ 上的减函数ꎬ则 ｋ 的 取值范围为　 　 　 　 　 　 　 　 ꎬｂ 的取值范围 为　 　 　 Ｒ　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 071 {#{QQABLYSAggAIAAJAAAgCQwVSCACQkAEAAIoORAAAoAABgBNABAA=}#} 关键能力􀅰攻重难 函数单调性的判断与证明 类型􀈀 典 例 剖 析 　 　 典例 １ 证明函数 ｙ ＝ ｘ ＋ ２ｘ ＋ １ 在 ( － １ꎬ ＋ ∞ )上是减函数. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 归纳提升:证明函数单调性的方法 利用单调性定义ꎬ其基本步骤如下: ①取值:设 ｘ１ꎬｘ２ 是该区间内的任意两个 值ꎬ且 ｘ１ < ｘ２ . ②作差变形:作差 ｆ( ｘ１) － ｆ( ｘ２)ꎬ并通过因 式分解、通分、配方、有理化等手段ꎬ转化为易判 断正负的式子. ③定号:确定 ｆ(ｘ１) － ｆ( ｘ２)的符号ꎬ当等号 不确定时ꎬ分类讨论. ④结论:根据 ｆ( ｘ１) － ｆ( ｘ２)的符号及定义 判断单调性. 提醒:作差变形是证明单调性的关键ꎬ且变 形的结果是几个因式乘积的形式. 对 点 训 练 １. 证明函数 ｆ( ｘ) ＝ ｘ ＋ １ｘ 在(１ꎬ ＋ ∞ )上是增 函数. 求函数的单调区间 类型􀈁 典 例 剖 析 　 　 典例 ２ (１)函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的图象如图所 示ꎬ则函数 ｆ(ｘ)的单调递增区间是　 ( － ∞ ꎬ１] 和(１ꎬ ＋ ∞ )　 　 　 　 　 　 . (２)已知函数 ｙ ＝ － ｘ２ ＋ ２ ｜ ｘ ｜ ＋ １ꎬ求函数的 单调区间ꎻ (３)求函数 ｆ( ｘ) ＝ ｘ ＋ ９ｘ ( ｘ > ０) 的单调 区间. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋