3.1.1 函数及其表示方法(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教B版2019）

　 　 　 第三章　 函　 数 ３. １　 函数的概念与性质 ３. １. １　 函数及其表示方法 第 １ 课时　 函数的概念 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上ꎬ用集合语言和对应关系刻画函数ꎬ建立 完整的函数概念. ２. 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. ３. 了解构成函数的要素ꎬ能求简单函数的定义域. 核心素养 １. 数学抽象 ２. 数学抽象 ３. 数学抽象、数学运算 必备知识􀅰探新知 　 　 一、函数的概念 　 　 １. 定义:　 给定两个非空数集 Ａ 与 Ｂ　 ꎬ以及 　 对应关系 ｆ　 ꎬ如果对于集合 Ａ 中的　 　 　 每一 个实数 ｘ　 ꎬ在集合 Ｂ 中都有　 　 　 　 　 唯一确 定的实数 ｙ　 与 ｘ 对应ꎬ则称 ｆ 为定义在集合 Ａ 上的一个函数. ２. 记法:ｙ ＝ ｆ(ｘ)ꎬｘ∈Ａ. ３. 定义: 自变量 因变量 定义域 值　 域 ｘ ｙ Ａ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 思考 １:如何理解对应关系“ ｆ ”的含义. 对 应 训 练 　 下图中能表示函数关系的是　 ①②④　 　 　 (填序号) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 061 {#{QQABJYSEogigABJAAAgCQwUiCACQkBGAAAoOQAAEsAABwANABAA=}#} 　 　 二、常见函数的定义域和值域 函数 一次函数 反比例 函数 二次函数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 对应 关系 ｙ ＝ａｘ ＋ｂ (ａ≠０) ｙ ＝ ｋｘ (ｋ≠０) ｙ ＝ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ ｃ (ａ≠０) ｙ ＝ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ ｃ (ａ≠０) 定义域 Ｒ {ｘ ｜ｘ≠０} Ｒ Ｒ 值域 Ｒ {ｙ ｜ｙ≠０} ｙ ｙ≥４ａｃ －ｂ ２ ４ａ{ } ｙ ｙ≤ ４ａｃ －ｂ２ ４ａ{ } 　 　 思考 ２:求二次函数 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ(ａ≠０) 的值域时为什么分 ａ > ０ 和 ａ < ０ 两种情况? 对 应 训 练 １. 函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ ＋ ３ｘ － １ 的定义域为 ( Ｃ ) Ａ. {ｘ ｜ ｘ≥ －３} Ｂ. {ｘ ｜ ｘ > － ３} Ｃ. {ｘ ｜ ｘ≥ －３ 且 ｘ≠１} Ｄ. {ｘ ｜ ｘ > － ３ 且 ｘ≠１} ２. (教材例题改编)若 ｆ(ｘ) ＝ １ １ － ｘ２ ꎬ则 ｆ(３) ＝ 　 　 　 　 . ３. 已知 ｆ(ｘ) ＝ ｘ３ － ２ꎬ则 ｆ[ ｆ( － １)] ＝ 　 　 　 － ２９　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 函数关系的判断 类型􀈀 典 例 剖 析 　 　 典例 １ 判断下列对应是不是从集合 Ａ 到集合 Ｂ 的函数. (１)Ａ ＝ ＮꎬＢ ＝ Ｎ ＋ ꎬｆ:对集合 Ａ 中的元素取 绝对值与 Ｂ 中元素对应ꎻ (２)Ａ ＝ { － １ꎬ１ꎬ２ꎬ － ２}ꎬＢ ＝ {１ꎬ２ꎬ４}ꎬｆ:ｘ →ｙ ＝ ｘ２ꎬｘ∈Ａꎬｙ∈Ｂꎻ (３)Ａ ＝ {三角形}ꎬＢ ＝ {ｘ ｜ ｘ > ０}ꎬｆ:对 Ａ 中 元素求面积与 Ｂ 中元素对应. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 归纳提升:判断对应关系是否为函数ꎬ主要 从以下三个方面去判断 (１)ＡꎬＢ 必须是非空实数集. (２)Ａ 中任何一个元素在 Ｂ 中必须有元素 与其对应ꎻ (３)Ａ 中任何一个元素在 Ｂ 中的对应元素 必须唯一. 对 点 训 练 １. 下列对应是从集合 Ａ 到集合 Ｂ 的函数的是 ( Ｃ ) Ａ. Ａ ＝ ＲꎬＢ ＝ {ｘ∈Ｒ ｜ ｘ > ０}ꎬｆ:ｘ→ １｜ ｘ ｜ Ｂ. Ａ ＝ ＮꎬＢ ＝ Ｎ∗ꎬｆ:ｘ→｜ ｘ － １ ｜ Ｃ. Ａ ＝ {ｘ∈Ｒ ｜ ｘ > ０}ꎬＢ ＝ Ｒꎬｆ:ｘ→ｘ２ Ｄ. Ａ ＝ ＲꎬＢ ＝ {ｘ∈Ｒ ｜ ｘ≥０}ꎬｆ:ｘ→ ｘ 同一个函数的判定