2.1.1 等式的性质与方程的解集(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教B版2019）

第二章　 等式与不等式 ２. １　 等式 ２. １. １　 等式的性质与方程的解集 素养目标􀅰定方向 课程标准 掌握等式的性质及常用的恒等式ꎬ会用因式分解法解一元二次方程. 核心素养 数学抽象、数学运算 必备知识􀅰探新知 　 　 一、等式的性质 文字语言 符号语言 性质 １ 等式的两边同时加上同一 个数 或 代 数 式ꎬ 等 式 仍 成立. 如果 ａ ＝ ｂꎬ 则对任意 ｃꎬ 都有 　 ａ ＋ ｃ ＝ ｂ ＋ ｃ　 . 性质 ２ 等式的两边同时乘以同一 个不为零的数或代数式ꎬ 等式仍成立. 如果 ａ ＝ ｂꎬ 则对任意不 为零的 ｃꎬ都 有　 ａｃ ＝ ｂｃ　 　 　 　 . 　 　 思考 １:下列各式是否正确? ①若 ｘａ ＝ ｙ ａ ꎬ则 ｘ ＝ ｙꎻ ②若 ｘ ＝ ｙꎬ则 ｘａ ＝ ｙ ｂ ꎻ ③若 ｘ ＋ ａ ＝ ｙ － ａꎬ则 ｘ ＝ ｙꎻ ④若 ｘ ＝ ｙꎬ则 ａｘ ＝ ｂｙ. 二、方程的解集 １. 方程的解(根):能使方程左右两边相等 的未知数的值. ２. 方程的解集:一个方程所有的解组成的 集合. 思考 ２:把方程通过适当变换后ꎬ求出的未 知数的值都是这个方程的解(根)吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 034 {#{QQABLYSAogCoAAIAAAgCQwFSCgCQkBAAAKoOwAAEoAABARFABAA=}#} 　 　 　 对 应 训 练 １. 方程 ２(ｘ － ２) ＋ ｘ２ ＝ (ｘ ＋ １)(ｘ － １) ＋ ３ｘ 的解 集为　 { － ３}　 . ２. 若 ｍ(３ｘ － ｙ２) ＝ ９ｘ２ － ｙ４ꎬ则 ｍ ＝ 　 　 　 　 　 . ３. 若 ４ｘ２ － ３(ａ － ２)ｘ ＋ ２５ 是完全平方式ꎬ则 ａ ＝ 　 　 　 　 　 或　 　 　 　 　 . ４. 方程 ｘ２ ＋ ２ｘ － １５ ＝ ０ 的解集为　 {３ꎬ － ５}　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 等式性质的应用 类型􀈀 典 例 剖 析 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 典例 １ (１)“●”“■”“▲”分别表示三 种不同的物体ꎬ如图所示ꎬ 前两架天平保持平衡ꎬ若要使第三架天平 也平衡ꎬ那么“?”处应放“■”的个数为 ( Ａ ) Ａ. ５　 　 　 Ｂ. ４　 　 　 Ｃ. ３　 　 　 Ｄ. ２ (２)下列变形一定正确的是 ( Ｄ ) Ａ. 若 ａｘ ＝ ｂｘꎬ则 ａ ＝ ｂ Ｂ. 若(ａ ＋ １)ｘ ＝ ａ ＋ １ꎬ则 ｘ ＝ １ Ｃ. 若 ｘ ＝ ｙꎬ则 ｘ － ５ ＝ ５ － ｙ Ｄ. 若 ｘ ＝ ｙꎬ则 ｘ ａ２ ＋ １ ＝ ｙ ａ２ ＋ １ 　 　 归纳提升: 等式的性质是进行恒等变形的依据ꎬ是解 题过程正确性的保证ꎬ应引起重视. 对 点 训 练 １. 将等式变形ꎬ过程如下: 因为 ３ａ － ２ｂ ＝ ２ａ － ２ｂ 所以 ３ａ ＝ ２ａ(第一步) 所以 ３ ＝ ２(第二步) 上述过程中ꎬ第一步的依据是 　 等式的两边 同时加上同一个数或代数式ꎬ等式仍成立ꎻ第 二步得出错误的结论ꎬ其原因是　 ａ ＝ ０. 用十字相乘法分解因式 类型􀈁 典 例 剖 析 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 典例 ２ 把下列各式因式分解: (１)ｘ２ － ７ｘ ＋ ６ꎻ (２)ｘ２ ＋ ｘｙ － ６ｙ２ꎻ (３)５ｘ２ ＋ ６ｘｙ － ８ｙ２ . 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 归纳提升: 用十字相乘法分解二次三项式很重要. 当 二次项系数不是 １ 时较困难ꎬ具体分解时ꎬ为提 高速度ꎬ可先对有关常数分解ꎬ交叉相乘后ꎬ若 原常数为负数ꎬ用减法“凑”ꎬ看是否符合一次项 系数ꎬ否则用加法“凑”ꎬ先“凑”绝对值ꎬ然后调 整ꎬ添加正、负号. 对 点 训 练 ２. 把下列各式因式分解: (１)ｘ２ ＋ １３ｘ ＋ ３６ꎻ (２)ｘ２ － ２ｘ － １５ꎻ