专题5.1 导数的概念及其意义【七大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.1 导数的概念及其意义【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 瞬时速度、平均速度】 2 【题型2 平均变化率】 2 【题型3 利用导数的定义解题】 4 【题型4 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 5 【题型5 求在曲线上一点的切线方程、过一点的曲线方程】 5 【题型6 函数图象与导函数的关系】 6 【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 7 【知识点1 导数的概念】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 3．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 【题型1 瞬时速度、平均速度】 【例1】（2023春·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位m）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系．该运动员在s时的瞬时速度（单位：）为（    ） A．10.9 B．0.1 C．6 D．5 【变式1-1】（2023春·贵州·高二校联考阶段练习）球的体积V（单位：）与半径R（单位：cm）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023春·上海·高二专题练习）已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　　） A．经过4s后物体向前走了10m B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C．物体在第4秒内向前走了10m D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s 【变式1-3】（2023春·山东青岛·高二校考期中）某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为（    ） A．汽车刹车后1 s内的位移 B．汽车刹车后1 s内的平均速度 C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D．汽车刹车后1 s时的位移 【题型2 平均变化率】 【例2】（2023春·北京房山·高二统考期末）函数在上的平均变化率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋·高二课时练习）如图，函数在，，这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023秋·高二课时练习）如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，定义域为，设分别表示在区间上的平均变化率，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-3】（2023·全国·高二随堂练习）如图，设有圆和定点O，当l从开始在平面内绕O匀速旋转时（角速度不变且旋转角度不超过），直线l扫过的圆内的面积S是时间t的函数，这个函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用导数的定义解题】 【例3】（2023春·新疆塔城·高二校考阶段练习）设函数在处的导数为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．6 【变式3-1】（2023春·陕西渭南·高二校考期中）若函数在处的瞬时变化率为，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式3-2】（2023春·高二课时练习）已知曲线y＝x3上一点P，则该曲线在P点处切线的斜率为（    ） A．4 B．2 C．－4 D．8 【变式3-3】（2023·全国·高二专题练习）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【知识点2 导数的几何意义】 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(