专题5.3 函数的单调性（八个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第一册）

专题5.3函数的单调性 知识点1 函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定； （3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间D上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 知识点2 最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 重难点1证明函数的单调性 【例1】讨论函数，在上的单调性 【例2】已知二次函数满足：. (1)求的解析式； (2)判定函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明. 证明或判断函数单调性的方法步骤： ①取值：且 ②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形 ③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论 ④结论：根据定义得出结论 【变式1-1】已知函数，满足条件. (1)求的解析式； (2)用单调性的定义证明在上单调递增，并求在上的最值. 【变式1-2】用单调性的定义证明函数在上是增函数． 【变式1-3】求证：函数在区间上是减函数． 重难点2判断函数的单调性 【例3】（多选）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【例4】下列函数中，满足对任意的，都有的是（    ） A． B． C． D． 待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． 【变式2-1】（多选）下列函数中，满足对任意，，的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．是增函数 D．是减函数 【变式2-3】下列命题正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 重难点3求单调区间 【例5】已知函数，则的单调递增区间为 . 【例6】若定义在R上的函数的图象如图所示，则其单调递增区间是 ，单调递减区间是 ． （1）求函数单调区间的2种方法： ①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． ②图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． （2）求函数单调区间的注意点：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接． 【变式3-1】函数的单调递减区间为 ． 【变式3-2】函数，单调递减区间为 ． 【变式3-3】已知函数的图像如图所示，则函数的单调递增区间是 .    重难点4利用单调性解不等式 【例7】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例8】定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为 . 待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． 【变式4-1】已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数，，对任意的、且，总有，若，则实数的取值范围是 ． 【变式4-3】定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为 ． 重难点5求函数的最值 【例9】已知函数，，则的最大值