4.3 对数函数（课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

第4章 幂函数、指数函数与对数函数 沪教版（2020）必修第一册 4.3 对数函数 学习任务 1 2 3 了解对数函数在生产实际中的简单应用. 理解对数函数的概念. 掌握对数函数的性质. 1 新课导入 问题　今天有多少个同学发烧？最近细菌感染沿着，我们构造一个感染人数的函数y＝2x. x 1 2 3 … 10 …     y 2 4 8 … 1 024 … 1 048 576 1 073 741 824 在学习指数函数时，我们想知道的是，第几天我们能得到多少人，而现在，我们知道的是，当有1 024人的时候，是在第10天，同学们可以大胆猜测一下，你在第几天可以获得1 048 576人和1 073 741 824人？ 提示　根据指数与对数的相互转化，我们知道y＝2x可以化为x＝log2y，根据对数的运算，我们便可得到是在第20天和30天获得上述人数. 2 知识梳理 对数函数的概念 定义 当a固定，且a>0,a≠1时，x以a为底的对数 y=log₄x 确定了变量y随变量x变化的规律，称为底为a的对数函数(logarithmic function).其中x是自变量，函数的定义域是 . 注意点： (1)对数函数的系数为1；(2)真数只能是一个x；(3)底数与指数函数的范围相同；(4)对于函数y＝2log2x等这一类的函数，根据对数的运算法则，它可以化为对数函数，因为它与对数函数y＝ 有相同的定义域和对应关系，故函数相等. (0，＋∞) 对数函数的性质 对称性 对数方程、不等式 对数方程、不等式 3 题型总结 题型一 对数函数的定义 例1　 √ 下列函数表达式中,对数函数有(　　) ①y=logx2;②y=logax(a∈R);③y=log8x;④y=lnx;⑤y=log3(x+2); ⑥y=2log4x;⑦y=log2(x+1). (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 解析:由于①中自变量出现在底数上,所以①不是对数函数;由于②中底数a∈R不能保证a>0,且a≠1,所以②不是对数函数;由于⑤⑦的真数分别为(x+2),(x+1),所以⑤⑦也不是对数函数;由于⑥中log4x的系数为2,所以⑥也不是对数函数;只有③④符合对数函数的定义.故选B. 题型二 对数函数的定义域 例2 求下列函数的定义域:　 (2)f(x)=log(x+1)(16-4x). 题型三 对数函数的图像 例3 (1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则 A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1 解析　作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0<b<a<1. B. 题型三 对数函数的图像 例3 (2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)， 则实数b＝_____，c＝____. 解析　∵函数的图象恒过定点(3,2)， ∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c， 得2＝loga(3＋b)＋c. 又当a>0，且a≠1时，loga1＝0恒成立， ∴c＝2,3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2. －2　 2 题型三 对数函数的图像 例3 (3)已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象. 解　因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5， 所以函数f(x)＝log5|x|的图象如图所示. 题型四 比大小 例4　 比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.9，log32； 解　因为y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，1.9<2， 所以log31.9<log32. (2)log23，log0.32； 解　因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0， 所以log23>log0.32. 题型四 比大小 例4　 (3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)； 解　当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增， 则有logaπ>loga3.14； 当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减， 则有logaπ<loga3.14. 综上所述，当a>1时，logaπ>loga3.14； 当0<a<1时，logaπ<loga3.14. 题型五 解不等式 例5 解下列关于x的不等式： (1) 所以原不等式的解集为{x|0<x<2}. 题型五 解不等式 例5 (2)loga(2x－5)>loga(x－1)； 综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}； 题型六 对数函数的应用 某企业2019年全年投入研发资