4.2 指数函数（课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

第4章 幂函数、指数函数与对数函数 沪教版（2020）必修第一册 4.2 指数函数 学习任务 1 2 3 理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件. 掌握指数函数的图象和性质. 学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域. 能借助指数函数的性质比较大小 会解简单的指数方程、不等式. 了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用. 1 新课导入 研究这样一个问题：一张纸对折一次，由1层变为2层，再对折一次由2层变为4层，……对折x次后，层数y与折叠次数x 的函数关系为y=2x. 将幂的底数a固定，指数用变量x代替，研究幂ax随x变化而变化的规律，即用y=ax 来描述y与x之间的关系，就得到指数函数. 2 知识梳理 指数函数的定义 当底数a固定，且a＞0，a≠1时，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 . y＝ax R 思考　为什么底数应满足a>0且a≠1? 答案　①当a≤0时，ax可能无意义； ②当a>0时，x可以取任何实数； ③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1. 指数函数的图像和性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： 指数函数的图像和性质 指数模型 1.y＝kax(k>0)，当 时为指数增长型函数模型. 2.y＝kax(k>0)，当 时为指数衰减型函数模型. a>1 0<a<1 3 题型总结 题型一 指数函数的概念 例1　 (1)解析:根据指数函数的定义进行判断得①⑥⑧为指数函数. ②中自变量不在指数上;③是-1与指数函数4x的乘积;④中底数-4<0;⑤中定义域不是R;⑦中指数不是x,而是x2,故②③④⑤⑦都不是指数函数. ①⑥⑧ 题型一 指数函数的概念 例1　 (2)函数y=(2a2-3a+2)ax是指数函数,则a的取值是(　　) 题型二 指数函数的解析式 例2　 若指数函数f(x)的图象经过点(2,9),求f(x)及f(-1). 题型三 指数函数的定义域、值域 例3　 求下列函数的定义域和值域: 题型三 指数函数的定义域、值域 例3　 求下列函数的定义域和值域: 题型三 指数函数的定义域、值域 例3　 求下列函数的定义域和值域: (4)y=4x+2x+1+3. 解:(4)定义域为R. 由题意,得y=4x+2x+1+3=(2x+1)2+2, 由于2x>0, 所以(2x+1)2>1, 所以y=4x+2x+1+3的值域是(3,+∞). 题型四 指数函数的图像 例4 （1）指出下列函数的图象是由y=f(x)的图象通过怎样的变化得到的. (1)y=2x+1;(2)y=2x-1;(3)y=2x+1;(4)y=2-x;(5)y=2|x|. 解:(1)y=2x+1的图象是由y=2x的图象向左平移1个单位得到的. (2)y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位得到的. (3)y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位得到的. (4)因为y=2-x与y=2x的图象关于y轴对称, 所以作y=2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y=2-x的图象. (5)因为y=2|x|图象关于y轴对称,故先作出当x≥0时,y=2x的图象,再作关于y轴的对称图形,即可得到y=2|x|的图象. 题型四 指数函数的图像 例4 （2）已知函数f(x)=a2x-2+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是(　　) (A)(0,3) (B)(1,3) (C)(0,4) (D)(1,4) 解析:当2x-2=0时,x=1,即f(1)=a2-2+3=1+3=4,故P(1,4).故选D. 题型四 指数函数的图像 例4 （3）若函数y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则必有(　　) (A)0<a<1,b>0 (B)0<a<1,b<0(C)a>1,b<0 (D)a>1,b>0 法一　由指数函数y=ax(a>1)图象的性质知函数y=ax(a>1)的图象过第一、二象限,且恒过点(0,1),而函数y=ax-(b+1)的图象是由y=ax的图象向下平移(b+1)个单位长度得到的,如图,若函数y=ax-(b+1)的图象过第一、三、四象限,则a>1且b+1>1,从而a>1且b>0.故选D. 法二　由函数是增函数知a>1,又x=0时,f(0)<0知b>0.选D. 题型五 比大小 例5 比较下列各组数的大小: (1)1.52.5和1.53.2; (2)0.6-1.2和0.6-1.5; 解:(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y=1.5x的两个函数值,由于底数1.5>1,所以函数y=1.5x在R上是严格增,因为2.5<3.2,所以1