3.2.3空间向量的数量积题型归纳练习（解析+原卷）-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

数量积题型归纳 题型一：简单求数量积 1、已知空间向量，，，则（    ） A． B．0 C．4 D． 2、若，，为空间中两两夹角为的单位向量，，，则 . 3、如图，已知棱长为的正四面体ABCD，点，，分别是，，的中点，求下列向量的数量积：    (1) ；(2)；(3)；(4)． 题型二：三个向量的模 1、已知空间单位向量，，两两垂直，则（ ） A． B． C．3 D．6 2、在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 3、已知空间向量、是相互垂直的单位向量，且，，则对任意的实数m，n，的最小值是 ． 4、已知单位向量，，中，，，则 ． 题型：求异面直线所成的角度 1、如图，在平行四边形中，，，把沿对角线折起，使与夹角为，则= ．    2、如图，在平行六面体中，，，，．则与所成角的余弦值为 ．    3、如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与的夹角的余弦值为 ．    题型二：求数量积的取值范围 1、《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最大值为（ ）. A．－8 B． C． D．1 3、平行六面体中，，，，动点P在直线上运动，则的最小值为 . 4、点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是 . 题型：求线段长度 1、如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲､乙两人相距（    ）    A． B． C． D． 2、如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为      3、如图，的二面角的棱上有、两点，射线、分别在两个半平面内，且都垂直于棱．若，，．则的长度为 ．    4、18．如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为 .    5、如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．(1)用向量表示；(2)求． 6、如图，在平行六面体.，设向量(1)用表示向量(2)求    7、平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，.(1)用向量，，表示向量；(2)求线段的长度．    题型：综合运用 1、如图所示，空间四边形中，，点E，F分别是的中点.(1)求的值；(2)求异面直线与所成角的余弦值. 2、如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.(1)利用空间向量证明；(2)求的长. 3、如图，平行六面体中，，，，点满足；(1)求的长度；(2)求 4如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线都等于1，点分别是的中点，设为空间向量的一组基底，计算：(1);(2).    5、如图，长方体的棱长，，．(1)求；(2)求与所夹角的余弦值．    6、如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，.(1)求对角线的长度.(2)计算与夹角的余弦值.    7、如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)判断与是否垂直． 8、如图，在平行六面体中，，．求：(1)；(2)的长． 9、已知平行六面体，，，，，设，，；(1)求的长度；(2)求异面直线与所成的角的余弦值．    10、如图，在平行六面体中，，，，，.求：(1)；(2)的长（精确到0.1）.    11、如图，在四面体中，，，，，点，分别在棱，上，且，.(1)用，，表示，；(2)求异面直线，所成角的余弦值.    学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数量积题型归纳 题型一：简单求数量积 1、已知空间向量，，，则（    ） A． B．0 C．4 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，因为，， 所以， 所以，故选：A 2、若，，为空间中两两夹角为的单位向量，，，则 . 【答案】 【详解】由题意得，，， 则.故答案为： 3、如图，已知棱长为的正四面体ABCD，点，，分别是，，的中点，求下列向量的数量积：    (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【详解】（1）=|cos∠BAC=a2cos60°= （2） （3）因为点，分别是，的中点，所以，所以 （4）因为点，分别是，的中点，所以， 所以 题型二：三个向量的模 1、已知