2.2 空间向量的运算课件（数量积）-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.2 空间向量的运算 （数量积） 掌握空间向量夹角的概念及表示方法，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次。 掌握两个向量数量积的概念、性质和运算率，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次。 掌握投影向量与投影数量的概念，会求具体的投影向量和投影数量，达到数学运算核心素养学业质量水平二的层次。 复习回顾 平面向量 空间向量 概念： 表示： 长度（模）： 相等向量： 相反向量： 零向量： 单位向量： 共线向量： 既有方向又有大小的量 几何表示（有向线段）； 字母表示（小写字母或两个大写字母） 表示向量的有向线段的长度，用||表示 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量，与 长度为0的向量，方向任意，与任何向量平行 长度为1的向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量(或平行向量). 通通相同 复习回顾 平面向量 空间向量 加减法：三角形法则、平行四边形法则 交换律、结合率 数乘： 共线向量定理： 共面向量：平行于 同一个平面的向量 四点共线证法： 通通相同 当＞0时，与向量方向相同； 当=0时，为零向量； 当＜0时，与向量方向相反； 的长度时的长度的倍 对空间任意两个向量的充要条件是存在唯一实数λ，使 =（1-x-y）+x+y （） 环节一 空间向量的 数量积 导入：如图，你能确定与之间的夹角吗？ 1、空间向量的数量积 思考1：你还记得平面向量中如何定义向量的夹角的吗？在空间中还成立吗？ O A B O A B 找到共同起点 夹角：已知两个非零向量，，在空间中任取一点O，作 则∠AOB叫作向量与的夹角,记作<,>. 思考2：有几个步骤？ 平移向量确定夹角 思考3：两个向量的夹角的范围是多少呢？ 通常规定<，>∈[0,]. 两条直线所成角的范围：[0, 两个平面所成角的范围：[0, 1、空间向量的数量积 归纳：几个特殊的角度 O A B O A B O A B <>= 共线且同向 <,>=0 共线且反向 <>= 思考4：<>与<>相同吗？<>与<>相同吗？ 1、空间向量的数量积 <>=<> <>与<>互补 思考5：那如何求空间中两个向量的数量积呢？ 1、空间向量的数量积 数量积定义：已知两个空间向量，，则||||cos〈,〉叫作与的数量积，记作·． ·=||||cos〈〉 思考6：数量积的结果是数量，还是向量？ 数量 思考7：向量夹角与数量积之间的关系？ 注意中间的“·”不能省略 的夹角为直角 的夹角为锐角 的夹角为钝角 ·=0 ·＞0排除共线 ·＜0排除共线 1、空间向量的数量积 思考7：数量积中的||cos〈,〉与||cos〈,〉是什么意思？ ||cos〈〉=|OA1| B1 ||cos〈〉=|OB1| 在方向上的投影数量 在方向上的投影数量 投影数量可正、可负，也可为零，这是由两非零向量的夹角决定的. 1、空间向量的数量积 思考8：方向上的投影数量的求法有几种？ ||cos〈〉 单位向量 B1 思考9：那有投影向量吗？如果我要求在方向上的投影向量怎么求呢？ 投影数量·单位向量 ||cos〈〉· ||cos〈〉· 在方向上的投影向量 在方向上的投影向量 1、空间向量的数量积 思考10：如何求向量的模长？ 口诀：求模先平方！ 思考11：那向量的数量积有哪些运算律呢？ 结合律 （λa）·b＝λ（a·b）（λ∈R） 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·（b＋c）＝a·b＋a·c 没有向量的结合律和约去率！ 环节二 求数量积 例 1 已知向量a和b的夹角为120°，且｜a｜＝2，｜b｜＝5，求（2a－b）·a。 解析：（2a－b）·a＝2a2－b·a＝2｜a｜2－｜a｜｜b｜cos 120° ＝2×4－2×5×（－）＝13. 例 2 已知｜b｜＝3，a在b方向上的投影数量为，求a·b⁠. 解析：∵｜a｜cos＜a，b＞＝， ∴a·b＝｜a｜·｜b｜cos＜a，b＞＝3×＝. 环节三 求夹角 例 1 （多选）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（　AD　） A.与 B.与 C. D.与 AD 如图，在正四面体OABC中，E，F分别为AB，OC的中点，求与的夹角的余弦值． 例 2 环节二 求模 例 1 已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，AD＝AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠DAB＝∠DAA1＝60°，＝3，＝4，设＝a，＝b，＝c.（1）用a，b，c表示（2）求MN的长度. 解答：（1）＝＋＋＝－－＋＝－（＋）－＋（＋）＝c－（a－b）－b＋（a＋b）＝－a＋b＋c. （2）∵＝－a＋b＋c. ＝a，＝b，＝c， ∴＝（－a＋b