第五章 2.1 & 2.2 实际问题的函数刻画 用函数模型解决实际问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§2　实际问题中的函数模型 2.1 & 2.2　实际问题的函数刻画　用函数模型解决实际问题 [学习目标]　1.能利用已知函数模型求解实际问题．2.在实际情景中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律． 知识点一　实际问题的函数刻画 　你能写出几种函数模型？ 提示： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 1．用函数刻画实际问题的条件 在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画． 2．用函数刻画实际问题的方法 函数刻画的方法可以使用图象，但常见的还是使用解析式． (链接教材P136例1)如图1是某公共汽车线路收支差额y(元)与乘客数量x(人)的图象． (1)试说明图1上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义； 学生用书第128页 (2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2，3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？ (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？ 解析：(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上(不包括B点)的点表示亏损，线段AB延长线上的点表示盈利． (2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价． (4)图1、2中的票价是2元，图3中的票价是4元． 　　方法技巧 利用已知函数模型解决实际问题 1．首先确定已知函数模型解析式中的未知参数． 2．利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题． 3．涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算． 即时练1．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图． 甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年的1万只上升到第6年的2万只． 乙调查表明：甲鱼池个数由第1年的30个减少到第6年的10个．请你根据提供的信息说明： (1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数； (2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由． 解析：(1)由题图可知，直线y甲＝kx＋b经过(1，1)和(6，2)，可求得k＝0.2，b＝0.8，所以y甲＝0.2(x＋4)．同理可得y乙＝4.故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)． (2)规模缩小，原因是：第1年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．知识点二　用函数模型解决实际问题 应用函数模型解决问题的基本过程是什么？ 提示：(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． (3)求模——求解数学模型，得出数学模型． (4)还原——将数学结论还原为实际问题． 数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，抽象概括地、简化近似地表述出来的一种数学结构．其中，函数模型是应用最广泛的数学模型之一．实际问题一旦被认定是函数关系，就可以通过研究这个函数的性质，使问题得到解决． (2023·河北邯郸高一质检)2022年10月16日，习近平总书记在中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中，提出了“把我国建设成为科技强国”的发展目标．国内某企业为响应这一号召，计划在2023年投资新技术、生产新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x千部手机，需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝经市场调研知，每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． 学生用书第129页 (1)试写出2023年利润L(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数解析式； (2)当2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 解析：(1)根据题意，L(x)＝ 整理得L(x)＝ (2)当x∈(0，40)时，L(x)＝600x－10x2－250＝－10(x－30)2＋8 750， 当x＝30时，L(x)max＝8 750(万元)； 当x∈[40，＋∞)时，L(x)＝－x－＋