第五章 1.2 利用二分法求方程的近似解-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

1.2　利用二分法求方程的近似解 [学习目标]　1.理解二分法的原理及其适用条件．2.掌握二分法的实施步骤．3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想． 知识点一　二分法的概念 　有16个大小相同，颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻的是假的．用天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币？ 提示：4次． 第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币； 第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币； 第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币； 第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币． 二分法：对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)＜0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． [微提醒]　(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理． (2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解． (1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　　) (2)(多选)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　) A．[1，4] B．[－2，1] C． D． 解析：(1)根据二分法的定义，知函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值．故选ABC. (2)因为第一次所取的区间是[－2，4]，所以第二次所取的区间可能是[－2，1]，[1，4]， 若第二次所取的区间为[－2，1]，则第三次所取的区间为或；若第二次所取的区间为[1，4]，则第三次所取的区间为或.故选CD. 答案：(1)ABC　(2)CD 　　方法技巧 运用二分法求函数的零点应具备的条件 1．函数图象在零点附近连续不断． 2．在该零点左右两侧的函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 即时练1．(多选)下列选项中能用二分法求图中函数零点近似值的是(　　) ACD　[根据二分法的概念可知，函数f(x)在区间上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项中图象分析可知，选项ACD都符合条件，而选项B不符合二分法的要求．故选ACD.] 即时练2．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A．4，4 B．3，4 C．5，4 D．4，3 D　[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选D.] 学生用书第124页 知识点二　用二分法求函数的零点 　依据二分法的思想，你能想办法求函数f(x)＝x3－3的近似解吗？并思考最终结果如何确定？ 提示：由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下： 端点或中点的横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间 a0＝1，b0＝2 f(1)＝－2，f(2)＝5 [1，2] x0＝＝1.5 f(x0)＝0.375＞0 [1，1.5] x1＝＝1.25 f(x1)≈－1.046 9＜0 [1.25，1.5] x2＝＝1.375 f(x2)≈－0.400 4＜0 [1.375，1.5] x3＝＝1.437 5 f(x3)≈－0.029 5＜0 [1.437 5，1.5] 最终结果用精确度限制近似确定． 二分法求函数零点近似值的步骤 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． [微提醒]　(1)初始区间的确定要包含函数的变号零点． (2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分． (1)(多选)用二分法求函数f(x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下： x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5 f(x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7 根据上述数据，可得f(x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度0.05)为(　　) A．0.625 B．0.093 75 C．0.125 D．0.096 (2)设f(x)＝3x＋3x－8，现用二分法求关于x的方程3x