第五章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§1　方程解的存在性及方程的近似解 1.1　利用函数性质判定方程解的存在性 [学习目标]　1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系．2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间．3.能借助函数单调性及图象判断零点个数． 知识点一　函数的零点 请回答以下问题： 1．观察下列三组方程与函数： 方程 函数 x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3 x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1 x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3 利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系． 提示：方程x2－2x－3＝0的根为－1，3，函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点(－1，0)，(3，0)； x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为1，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有唯一交点(1，0)； x2－2x＋3＝0没有实根，函数y＝x2－2x＋3的图象与x轴无交点． 2．问题1中的函数的零点是函数图象与x轴的交点坐标吗？ 提示：不是，零点不是点，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标． 1．定义：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点． 2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： [微提醒]　(1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标，是方程f(x)＝0的解． (2)求零点可转化为求对应方程的解． (3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解． 已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　) A．，0 B．－2，0 C． D．0 D　[当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．综上所述，函数零点为0.故选D.] 已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点． 解析：由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a.故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－.所以函数g(x)的零点为0和－. 　　方法技巧 求函数y＝f(x)的零点的方法 1．代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点． 2．几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，求定义在R上的减函数f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0.且不存在其它的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0. 学生用书第121页 即时练1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出： (1)f(x)＝－x2－4x－4； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝4x＋5； (4)f(x)＝log3(x＋1)． 解析：(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2.所以函数f(x)的零点为－2. (2)令＝0，解得x＝1.所以函数f(x)的零点为1. (3)令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0，而4x＞0，所以方程4x＋5＝0无实数根．所以函数f(x)不存在零点． (4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0.所以函数f(x)的零点为0. 知识点二　函数零点存在定理 观察函数f(x)的图象，完成下列问题： (1)在区间(a，b)上 (填“有”或“无”)零点；f(a)·f(b) 0(填“＞”或“＜”)． (2)在区间(b，c)上 (填“有”或“无”)零点；f(b)·f(c) 0(填“＞”或“＜”)． (3)在区间(c，d)上 (填“有”或“无”)零点；f(c)·f(d) 0(填“＞”或“＜”)． 提示：(1)有　＜　(2)有　＜　(3)有　＜ 零点存在定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解． [微提醒]　(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0. (2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)＜0是函数有零点的充分不必要条件． (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点． (链接教材P131例1)(1)f(x)＝2x＋x－2的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) (2)(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足