第四章 对数运算与对数函数 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

章末综合提升 素养一　数学运算 　　数学运算核心素养在本章中主要体现在对数运算及函数求值问题中． 体现1　对数运算 (多选)下列运算错误的是(　　) A．2log10＋log0.25＝2 B．log427·log258·log95＝ C．lg 2＋lg 50＝10 D．log(2＋)(2－)－(log2)2＝－ ABC　[对于A, 2log10＋log0.25＝log(102×0.25)＝log52＝－2，所以选项A错误； 对于B，log427·log258·log95＝··＝＝，所以选项B错误； 对于C，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，所以选项C错误； 对于D，log(2＋)(2－)－(log2)2＝－1－()2＝－，所以选项D正确．故选ABC.] 计算：(1)log3＋lg 25＋lg 4＋72＋(－9.8)0； (2)－log23×log34. 解析：(1)log3＋lg 25＋lg 4＋72＋(－9.8)0＝log33＋lg 52＋lg 22＋2＋1＝＋2＋2＋1＝. (2)原式＝－log23×＝－6－2＝－8. 素养二　直观想象 　　直观想象核心素养主要体现在对数函数图象的识别及应用问题中． 体现2　对数函数图象的识别 函数y＝|lg (x＋1)|的图象是(　　) A　[由于函数y＝lg (x＋1)的图象可由函数y＝lg x的图象左移一个单位而得到，函数y＝lg x的图象与x轴的交点是(1，0)，故函数y＝lg(x＋1)的图象与x轴的交点是(0，0)，即函数y＝|lg(x＋1)|的图象与x轴的公共点是(0，0)，显然四个选项只有A选项满足．故选A.] 体现3　对数函数图象的应用 (多选)已知函数f(x)＝|log2x|的值域是[0，2]，则其定义域可能是(　　) A．　 B．　 C．　 D． BC　[函数的图象如图所示，令|log2x|＝2，可得log2x＝2或log2x＝－2，解得x＝4或x＝，所以要满足f(x)的值域为[0，2]，定义域为的子集，且必须包含x＝1以及至少一个边界点，A选项中∉，故错误；D选项中不包含边界点x＝及x＝4，故错误．BC满足题意．故选BC.] 学生用书第119页 素养三　逻辑推理 　　逻辑推理核心素养主要体现在对数函数性质的应用中． 体现4　比较大小 (多选)已知当x＞y＞1时，lg x＞lg y＞0.根据上述结论，若10a＝4，10b＝25，则(　　) A．a＋b＝2 B．b－a＝1 C．ab＞8(lg 2)2 D．b－a＞lg 6 ACD　[由10a＝4，10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，选项A：a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，正确；选项BD：b－a＝lg 25－lg 4＝lg，因为＞6，所以lg ＞lg 6，B错误，D正确．选项C：ab＝2×lg 2×2×lg 5＞4lg 2×lg 4＝8(lg 2)2，正确．故选ACD.] 体现5　与对数函数有关的单调性、奇偶性问题 设f(x)＝log2－x为奇函数，a为常数． (1)求a的值； (2)判断并证明函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性； (3)若对于区间[2，3]上的每一个x值，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 解析：(1)由条件得f(－x)＋f(x)＝0, 所以log2＋log2＝0，化简得(a2－1)x2＝0， 因此a2－1＝0，所以a＝±1.当a＝1时，＝－1＜0，不符合题意；当a＝－1时，f(x)＝log2－x，符合题意．因此a＝－1. (2)函数f(x)在(1，＋∞)上为单调减函数．证明如下：设任意x1，x2满足1＜x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝log2－x1－log2＋x2 ＝log2＋(x2－x1)．因为1＜x1＜x2， 所以x2－x1＞0，x1±1＞0，x2±1＞0. 因为(x1＋1)(x2－1)－(x1－1)(x2＋1)＝x1x2－x1＋x2－1－x1x2－x1＋x2＋1＝2(x2－x1)＞0， 又(x1＋1)(x2－1)＞0，(x1－1)(x2＋1)＞0，所以·＞1，log2＞0. 又x2－x1＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在(1，＋∞)上为单调减函数． (3)不等式等价转化为m＜f(x)－2x在x∈[2，3]上恒成立，所以m＜[f(x)－2x]min. 因为f(x)在[2，3]上单调递减，2x在[2，3]上单调递增．所以f(x)－2x在[2，3]上单调递减，当x＝3时，f(x)－2x取得最小值，最小值为－10， 所以m∈(－∞，－10)． 素养四　 数学建模 　　数学建模体现在指数函数、对数函数、幂函数增长的比较方面，以及模型的选取问题上． 体现6　 指数函数、对数函数、幂函数增长的比较 水葫芦