第四章 第三节 培优微课6 破解与指数函数、对数函数有关的复合函数问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

　　与指数、对数函数有关的复合函数问题是常考的难点之一，主要涉及复合函数的单调性、奇偶性以及值域或最值等问题，解决这些问题的关键是首先理清原函数是由哪些函数复合而来，然后利用复合函数的“同增异减”的性质解决问题． 类型一　指数、对数型复合函数的单调性 已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在(2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，4] B．[4，＋∞) C．[－4，4] D．(－4，4] C　[令g(x)＝x2－ax＋3a，因为f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在(2，＋∞)上单调递减， 所以 g(x)在(2，＋∞)上单调递增，且恒大于0，所以≤2且g(2)≥0，所以－4≤a≤4.故选C.] 方法技巧 　　注意定义域优先，对数函数的真数恒大于0，然后根据复合函数的单调性解决问题．　　 即时练1．(多选)已知正实数x，y满足log2x＋logy＜x－y，则下列关系一定正确的是(　　) A．＜ B．x3＜y3 C．ln(y－x＋1)＞0 D．2x－y＜ BC　[由题意，log2x－＜log2y－，设f(x)＝log2x－，显然f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故由f(x)＜f(y)，得0＜x＜y，故＞，x3＜y3，A错误，B正确；由x＜y，得y－x＋1＞1，故ln(y－x＋1)＞ln 1＝0，C正确；2x－y＜20＝1，故D不一定正确．故选BC.] 学生用书第113页 类型二　 指数、对数型复合函数的最值(值域) 若f(x)＝2－ln x(1≤x≤e4)(e为自然对数的底数)，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最小值为(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．6 B　[由题意所以1≤x≤e2，则ln x∈[0，2]，设t＝ln x，t∈[0，2]，y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2－ln x)2＋2－ln x2＝ln2x－6ln x＋6＝t2－6t＋6，又y＝t2－6t＋6＝(t－3)2－3，而t∈[0，2]，所以t＝2时，ymin＝－2，所以函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最小值为－2.故选B.] 　　方法技巧 　　本题考查求对数型复合函数的最值．解题方法是换元法，转化为二次函数求解．解题时要注意新元的取值范围．特别要注意函数的定义域，否则易出错． 即时练2．当x≤－1时，函数y＝2的值域为(　　) A．[2，＋∞) B．(0，2) C．(－∞，2] D．(1，2] A　[令u＝x2，由x≤－1，得x2≥1，即u≥1，则y＝2＝2u在u∈[1，＋∞)上单调递增，所以ymin＝21＝2，函数y＝2的值域为[2，＋∞)．故选A.] 类型三　指数、对数型复合函数的奇偶性 (2023·江苏南京市期中)若函数f(x)＝x2ln(－x)为奇函数，则a＝(　　) A． B． C．1 D．2 C　[因为函数f(x)＝x2ln(－x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，而f(－x)＝x2ln(＋x)，则f(x)＋f(－x)＝x2ln(－x)＋x2ln(＋x)＝x2[ln(－x)＋ln(＋x)]＝x2ln(－x)(＋x)＝x2ln(x2＋a－x2)＝x2ln a＝0，所以ln a＝0，则a＝1.故选C.] 　　方法技巧 对于复合函数的奇偶性的判断方法 　　一是利用函数奇偶性的定义；二是利用奇偶性的性质判断． 即时练3．(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－(a＞1)，则关于函数g(x)＝[f(x)]的叙述中正确的是(　　) A．f(x)是奇函数 B．g(x)是偶函数 C．f(x)在R上是增函数 D．g(x)的值域是{－1，0} ACD　[A选项：f(x)＝－＝＝，f(－x)＝＝， 所以－f(x)＝f(－x)，所以f(x)为奇函数，故A正确； B选项：因为g(x)＝[f(x)]，所以g(1)＝[f(1)]， g(－1)＝[f(－1)]，因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(1)＝－f(－1)，所以g(1)≠g(－1)，故B错误；C选项：f(x)＝－＝－＝1－－＝－， 因为a＞1，所以ax为增函数，所以为减函数，所以f(x)＝－为增函数，故C正确；D选项：因为ax＞0，所以1＋ax＞1，所以0＜＜1，所以－＜f(x)＜.又因为g(x)＝[f(x)]，所以g(x)的值域为{－1，0}，故D正确．故选ACD.] 类型四　 指数、对数型复合函数性质的综合应用 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断并用定