第四章 4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 [学习目标]　1.了解指数函数、幂函数、对数函数增长速度的意义．2.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律． 知识点　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 观察函数y＝x2，y＝2x，y＝log2x在区间(0，＋∞)上的图象，思考以下几个问题： 请回答以下问题： 1．三个函数在区间(0，＋∞)上的图象有什么特点？ 提示：三个函数在区间(0，＋∞)上的图象都是上升的，即单调递增． 2．当x趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？ 提示：三个函数的增长速度差异很大，其中y＝2x增长速度最快，y＝log2x增长速度最慢． 1．指数函数、对数函数、幂函数图象的特征 函数 性质 y＝ax(a＞1) y＝logbx(b＞1) y＝xc(c＞0) 在(0，＋∞) 上的增减性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x增大逐渐表现为与y轴“平行” 随x增大逐渐表现为与x轴“平行” 在(0，＋∞)上，随x的增大，图象平稳上升 2．y＝ax(a＞1)，y＝logbx(b＞1)，y＝xc(c＞0)不同增长情况比较 随着自变量x的增大，y＝ax的函数值增长远远大于y＝xc的函数值增长；而y＝xc的函数值增长又远远大于y＝logbx的函数值增长，即尽管它们在(0，＋∞)上都是增函数，但增长速度快慢不同，在(0，＋∞)上总存在一个x0，当x＞x0时，logbx＜xc＜ax． [微提醒]　(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型． 角度1　三种不同函数增长的差异 (1)下列函数中，增长速度最快的是(　　) A．y＝2 023x B．y＝x2 023 C．y＝log2 023x D．y＝2 023x (2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　) A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3 C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2 (1)A　(2)C　[(1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快．故选A.(2)由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数，y2是指数函数，y3是对数函数．故选C.] 右　　方法技巧 常见的函数模型及增长特点 1．线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． 2．指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”． 3．对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． 4．幂函数模型：幂函数y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．右右 学生用书第115页即时练1．下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的衰减情况的叙述正确的是(　　) A．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变慢 B．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变快 C．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变慢 D．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变快 C　[由函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的图象(图略)以及性质知函数f(x)，g(x)，h(x)的衰减速度均逐渐变慢．故选C.] 角度2　三种不同函数模型的增长比较 已知函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数． (1)求y＝f(x)的解析式； (2)若x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式： ①log2x＜2x＜x2； ②log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围． 解析： (1)因为函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数，所以f(x)＝2x. (2)作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x在同一直角坐标系中的图象，可得：22＝4，24＝42＝16， ①