第四章 3.3 第2课时 对数函数y＝logax的图象和性质的综合应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

第2课时　对数函数y＝logax的图象和性质的综合应用 [学习目标]　1.掌握对数型复合函数的单调性、最值、值域． 2.了解对数函数性质的综合应用． 应用一　对数型复合函数的单调性 函数y＝log(1－x2)的单调递减区间为　. 解析：要使y＝log(1－x2)有意义，则1－x2＞0，所以x2＜1，所以－1＜x＜1，因此函数的定义域为(－1，1)．令t(x)＝1－x2，x∈(－1，1)．则t(x)在(－1，0]上单调递增．所以函数y＝log(1－x2)的单调递减区间为(－1，0]． 讨论函数y＝loga(3x－1)的单调性． 解析：由3x－1＞0，得函数的定义域为. 当a＞1，x＞时，函数f(x)＝loga(3x－1)为增函数；当0＜a＜1，x＞时，函数f(x)＝loga(3x－1)为减函数． 　　方法技巧 求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间的步骤 第一步：求出函数的定义域； 第二步：研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性； 第三步：依据“同增异减”原则，求函数y＝logaf(x)的单调区间． (1)当a＞1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性一致； (2)当0＜a＜1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反． 即时练1．(2023·天津高一期末)函数f(x)＝log(－x2＋6x－5)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，3]　　　 B．[3，＋∞) C．(1，3] D．[3，5) C　[由f(x)＝log(－x2＋6x－5)，则－x2＋6x－5＞0，(x－5)(x－1)＜0，解得1＜x＜5，即函数f(x)的定义域为(1，5)，由题意，令g(x)＝logx，h(x)＝－x2＋6x－5，则由h(x)＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4，则在(1，5)上二次函数h(x)的递增区间为(1，3]，所以f(x)的递减区间为(1，3]，故选C.] 即时练2．(2023·福建厦门月考)函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在[a，＋∞)上单调递增的一个充分不必要条件是(　　) A．a＞0　 B．a＞1　 C．a＞3　 D．a＞4 D　[设g(x)＝x2－2x－3，可得函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又由函数y＝lg(x2－2x－3)，满足x2－2x－3＞0，解得x＜－1或x＞3，根据复合函数的单调性，可得函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)．f(x)＝lg(x2－2x－3)在[a，＋∞)上单调递增⇔a＞3.可以得到一个充分不必要条件是：a＞4.故选D.] 应用二　对数型复合函数的值域 已知A＝{x|y＝ln(x－1)＋}，B＝. (1)求A； (2)已知函数f(x)＝log2log2，x∈ ． 请从①A∩B，②A∪B选一个补充横线条件后，求函数f(x)的最大值并求函数取最大值时x的值． 解析： (1)由 解得1＜x≤2，所以A＝(1，2]． (2)log2x≥log22＝⇒x≥2， 所以B＝. f(x)＝log2log2＝(log2x－1)(2－log2x)＝－(log2x)2＋3log2x－2. 若选①：A∩B＝[，2]，函数f(x)＝－(log2x)2＋3log2x－2，x∈[，2]，令t＝log2x∈， y＝－t2＋3t－2＝－＋，所以当t＝1时，ymax＝0，此时x＝2. 所以当x＝2时，f(x)取得最大值为0. 若选②：A∪B＝(1，＋∞)，函数f(x)＝－(log2x)2＋3log2x－2，x∈(1，＋∞)，令t＝log2x∈(0，＋∞)，y＝－t2＋3t－2＝－＋， 所以当t＝时，ymax＝，此时log2x＝，x＝2＝2.所以当x＝2时，f(x)取得最大值为. 学生用书第111页 　　方法技巧 与对数函数有关的值域与最值问题的处理方法 1．求解最值问题，一定要注意转化思想的应用，求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题，一般要转化为求二次函数的最值问题，求二次函数的最值时常用配方法，配方时注意自变量的取值范围． 2．求形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数值域的步骤 (1)分解成两个函数y＝logau，u＝f(x)； (2)求f(x)的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用单调性求解y＝logau(a＞0，且a≠1)的值域． 即时练3．(多选)已知函数f(x)＝(log3x)2－log3x2－3，则下列说法正确的是(　　) A．f ＝5 B．函数y＝f(x)的最大值为4 C．函数y＝f(x)的最小值为－4 D．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点 ACD　[设t＝log3x，则y＝t2－2t－3，当x＝时， t＝log3＝－2，y＝(－2)2－2×(－2)－3＝5， 故A正确；