第四章 3.1 & 3.2 对数函数的概念 对数函数y＝log2x的图象和性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§3　对数函数 3.1 & 3.2　对数函数的概念　对数函数y＝log2x的图象和性质 [学习目标]　1.理解对数函数的概念，以及对数函数与指数函数之间的关系．2.了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数．3．掌握对数函数y＝log2x的图象和性质． 知识点一　对数函数的概念 　生物学科中我们知道某种细胞的分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，则1个这样的细胞分裂x次后得到的细胞的个数y如何表示？反之，如果一个细胞经过x次分裂后得到了1 024个细胞，如何求得x值呢？在第几次开始，细胞的个数超过100万呢？ x 1 2 3 … 10 … y 2 4 8 … 1 024 … 1 048 576 … 提示：根据指数与对数的相互转化，我们知道y＝2x可以化为x＝log2y，根据对数的运算，我们便可得到是在第20次开始细胞的个数超过100万． 1．对数函数的概念 一般将函数y＝logax(a＞0，且a≠1)称为对数函数，其中x为自变量，a为底数． 2．对数函数的基本性质 (1)定义域是(0，＋∞)；(2)图象过定点(1，0)． 3．特殊的对数函数 (1)以10为底的对数函数称为常用对数函数，记作y＝lg x． (2)以无理数e为底的对数函数称为自然对数函数，记作y＝ln x． [微提醒]　(1)对数函数的系数为1. (2)真数只能是一个x. (3)底数与指数函数的底数范围相同． (多选)下列函数中为对数函数的是(　　) A．y＝log(－x) B．y＝2log4(x－1) C．y＝ln x D．y＝log(a2＋a＋2)x(a是常数) CD　[对于A，真数是－x，故A不是对数函数；对于B，y＝2log4(x－1)＝log2(x－1)，真数是x－1，不是x，故B不是对数函数；对于C，ln x的系数为1，真数是x，故C是对数函数；对于D，底数a2＋a＋2＝＋＞1，真数是x，故D是对数函数．故选CD.] 已知对数函数f(x)的图象过点P(8，3)，则f＝ ． 解析：设对数函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，因为f(x)的图象过点P(8，3)， 所以3＝loga8，所以a3＝8，a＝2.所以f(x)＝log2x，所以f ＝log2＝log22－5＝－5. 答案：－5 　　方法技巧 判断一个函数是对数函数的依据 即时练1．给出下列函数：①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.其中是对数函数的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A　[①y＝logx2的真数为x2，故不是对数函数；②y＝log3(x－1)的真数为x－1，故不是对数函数；③y＝log(x＋1)x的底数为x＋1，故不是对数函数；④y＝logπx是对数函数．故选A.] 即时练2．若函数f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝ ． 解析：根据对数函数的定义有 解得a＝5. 答案：5 学生用书第105页 知识点二　反函数 在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝log2x的图象，观察这两个函数图象间的关系． 提示：y＝2x与y＝log2x的图象如图，y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称． 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)； 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1) 的反函数是指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)． 即它们互为反函数． [微提醒]　互为反函数的两个函数的定义域和值域互换． (链接教材P111例2、例3)写出下列函数的反函数： (1)y＝10x；(2)y＝；(3)y＝logx；(4)y＝log2x. 解析：(1)由y＝10x得x＝lg y，所以其反函数为y＝lg x. (2)由y＝得x＝logy，所以其反函数为y＝logx. (3)由y＝logx得x＝，所以其反函数为y＝. (4)由y＝log2x，得x＝2y，所以其反函数为y＝2x. 　　方法技巧 反函数的性质特征 1．同底的指数函数、对数函数互为反函数． 2．反函数的性质 (1)对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)坐标关系：若函数y＝f(x)图象上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数图象上，反之若点(b，a)在反函数图象上，则点(a，b)必在原函数图象上． 即时练3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝(　　) A．log2x B．logx C．2－x D．x2 B　[函数y＝ax的反函数为y＝logax，将点(，a)代入得loga＝a，所以a＝，即f(x)＝log