第四章 2 对数的运算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§2　对数的运算 [学习目标]　1.理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算．2.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算． 知识点一　对数的运算性质 请回答以下问题： 1．将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)? 提示：由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN. 由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(M·N)． 从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)． 2．结合问题1，若＝＝ap－q，又能得到什么结论？ 提示：将指数式＝ap－q化为对数式，得 loga＝p－q＝logaM－logaN(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)． 3．结合问题1，若Mb＝(ap)b＝abp(b∈R)，又能有何结果？ 提示：由Mb＝abp，得logaMb＝bp＝blogaM(b∈R)． 对数的运算性质 如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么 (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMb＝blogaM(b∈R)． [微提醒]　(1)简记为：“积对和，商对差，遇到指数就搬家”． (2)性质的逆运算仍然成立． (3)公式成立的条件是M＞0，N＞0，而不是MN＞0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义， 而log2(－2)与log2(－3)都没有意义． (4)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk＞0，k∈N*. (链接教材P102例1)计算下列各式： (1)log5；(2)log2(32×42)； (3)log535－2log5＋log57－log5. 解析：(1)原式＝log5625＝log554＝. (2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9. (3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－(log59－log55)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2. 　　方法技巧 1．利用对数的运算化简与求值的基本原则 (1)对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理； (2)选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 2．利用对数运算性质化简求值 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用； (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式正用； (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简． 即时练1．计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)； (3)log327＋lg 25－7log73＋lg 4－log39·log42. 解析：(1)原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1. (2)原式＝ ＝＝. (3)原式＝3＋(lg 25＋lg 4)－3－2×＝lg 100－1＝2－1＝1. 学生用书第102页 知识点二　对数的换底公式 请回答以下问题： 1．我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log93等式子的化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？ 提示：设log48＝x，故有4x＝8，即22x＝23，故x＝，而log28＝3，log24＝2，于是我们大胆猜测log48＝，同样log93＝. 2．是否对任意的logab都可以表示成logab＝(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)？说出你的理由． 提示：依据当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔logaN＝x推导得出． 令＝x，则logcb＝xlogca＝logcax，故b＝ax，所以x＝logab，所以logab＝. 换底公式 如果a＞0，b＞0，c＞0，且a≠1，c≠1，则logab＝． [微提醒]　换底公式的适用条件 (1)对数换底公式成立的条件：公式中的每一个对数式都有意义． (2)对数换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底数问题转化为同底数问题后求解． [记结论]　换底公式的几个常用推论 (1)logaN＝(N＞0，且N≠1；a＞0，且a≠1)． (2)logbm＝logab(a＞0，且a≠1，b＞0)． (3)logab·logbc·logcd＝logad(a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，且a≠1，b