第四章 1 对数的概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§1　对数的概念 [学习目标]　1.了解对数、常用对数、自然对数的概念．2.会进行对数式与指数式的互化．3.会求简单的对数值． 知识点一　对数的概念 我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若＝128，则x＝－7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？ 提示：用指数方程不能解决上述问题，为了解决这个问题，早在18世纪时，欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解． 1．对数的概念 一般地，如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b．其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2．常用对数与自然对数 底数a＝10的对数，称之为常用对数，log10N简记为lg N． 底数a＝e(e是一个无理数，e＝2.718 28…)的对数，称之为自然对数，logeN简记为ln N． [微提醒]　(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换．特别注意N＞0. (2)logaN的读法：以a为底N的对数． 已知对数式log(a＋1)有意义，则a的取值范围为(　　) A．(－1，4) B．(－1，0)∪(0，4) C．(－4，0)∪(0，1) D．(－4，1) B　[由log(a＋1)有意义可知解得－1＜a＜4且a≠0， 所以a的取值范围为(－1，0)∪(0，4)．故选B.] 方法技巧 　　关于对数式中参数的范围：利用式子logab⇒b＞0，a＞0，a≠1，求字母的范围．　　 即时练1．若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，3)∪(3，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) B　[要使对数式log(t－2)3有意义，需解得t＞2，且t≠3.所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，＋∞)．故选B.] 知识点二　对数与指数的互相转化 现在你能解指数方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了吗？ 提示：x＝log23；x＝log1.112；x＝log105. [微提醒]　(1)真数N＞0. (2)不是每一个指数式都可以化为对数式．如(－3)2＝9 不能写成log(－3)9＝2. 学生用书第99页 (链接教材P99例1、例2)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)54＝625；(2)4x＝10；(3)log216＝4；(4)log3＝－2；(5)log(a－1)(b＋2)＝3. 解析：(1)因为54＝625，所以4＝log5625； (2)因为4x＝10，所以x＝log410； (3)因为log216＝4，所以16＝24； (4)因为log3＝－2，所以＝3－2； (5)因为log(a－1)(b＋2)＝3，所以b＋2＝(a－1)3. (链接教材P99例3)求下列各式中x的值： (1)log5x＝3；(2)log2(2x＋1)＝3；(3)logx＝3；(4)log28x＝－3. 解析：(1)因为log5x＝3，所以x＝53＝125； (2)因为log2(2x＋1)＝3，所以2x＋1＝23＝8，解得x＝； (3)因为logx＝3，所以＝x3＝，所以x＝； (4)因为log28x＝－3，所以8x＝2－3＝8－1，所以x＝－1. 方法技巧 指数式与对数式互化的思路 即时练2．(多选)下列指数式与对数式互化正确的有(　　) A．e0＝1与ln 1＝0 B．log39＝2与9＝3 C．8－＝与log8＝－ D．log77＝1与71＝7 ACD　[对于A：e0＝1可化为：0＝loge1＝ln 1，所以A正确； 对于B：log39＝2可化为：32＝9，所以B不正确； 对于C：8＝可化为log8＝－，所以C正确； 对于D：log77＝1可化为：71＝7，所以D正确．故选ACD.] 即时练3．求下列各式的值： (1)log981＝ ；(2)log0.41＝ ； (3)ln e2＝ ． 解析：(1)设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2. (2)设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0. (3)设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2. 答案：(1)2　(2)0　(3)2 知识点三　对数的性质 　对于任意的a＞0，且a≠1，loga1，logaa，loga，aloga1 的值有什么特点？ 提示：loga1＝0，logaa＝1，loga＝－1，aloga1＝1. 对数的性质 1．loga1＝0(a＞0，且a≠1)． 2．l