第三章 3 第2课时 指数函数的性质及应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

第2课时　指数函数的性质及应用 [学习目标]　1.通过具体实例，掌握指数函数的性质．2.学会利用指数函数性质解决求函数的定义域、值域、比较大小等问题． 知识点一　指数函数的性质 结合指数函数y＝2x，y＝3x，y＝x，y＝x的图象，类比研究幂函数性质的方法，函数y＝ax(a＞0且a≠1) 有什么性质呢？ 提示：可以从函数的定义域、值域、单调性、图象的变化特征等方面考虑． 指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x＜0时，0＜y＜1； 当x＞0时，y＞1 当x＜0时，y＞1； 当x＞0时，0＜y＜1 在R上是增函数， 当x→＋∞时，y→＋∞， 当x→－∞时，y→0 在R上是减函数， 当x→＋∞时，y→0 当x→－∞时，y→＋∞ [微提醒]　当底数a的大小不确定时，必须分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论函数的图象和性质． 学生用书第93页 (链接教材P91习题A1)求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝4x＋2x＋1＋3. 解析：(1)因为x满足x≠0，所以定义域为{x|x≠0}．因为≠0，所以2≠1. 所以y＝2的值域为{y|y＞0，且y≠1}． (2)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30.因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0.故函数y＝的定义域为(－∞，0]．因为x≤0，所以0＜3x≤1，所以0≤1－3x＜1. 所以∈[0，1)，即函数y＝的值域为[0，1)． (3)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0.所以函数y＝的定义域为{x|x＝0}． 因为x＝0，所以＝＝1，即函数y＝的值域为{y|y＝1}． (4)显然定义域为R.由题意，得y＝4x＋2x＋1＋3＝(2x＋1)2＋2，由于2x＞0， 所以(2x＋1)2＞1，所以y＝4x＋2x＋1＋3的值域是(3，＋∞)． 　　方法技巧 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 1．定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． 2．值域：(1)换元，令t＝f(x)； (2)求t＝f(x)的定义域x∈D； (3)求t＝f(x)的值域t∈M； (4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 即时练1．求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2；(2)y＝. 解析：(1)因为x应满足x－4≠0，所以x≠4，所以定义域为{x|x≠4}． 因为≠0，所以2≠1， 所以y＝2的值域为{y|y＞0，且y≠1}． (2)由题意知1－≥0，所以≤1＝， 所以x≥0，所以定义域为{x|x≥0}． 因为x≥0，所以≤1. 又因为＞0，所以0＜≤1. 所以0≤1－＜1， 所以0≤y＜1，所以此函数的值域为[0，1)． 知识点二　函数y＝ax与y＝x(a＞0且a≠1)的关系 观察函数y＝2x及y＝在同一坐标系中的图象，它们有什么特点和联系吗？ 提示：共同点：都在x轴上方，都过点(0，1)．不同点：y＝的图象是下降的，y＝2x的图象是上升的．联系：两者关于y轴对称． 一般地，指数函数y＝ax 与y＝x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反． (1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a (2)若2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是(　　) A． B． C． D．[2，＋∞) 解析：(1)因为1.50.6＞1.50＝1，0.60.6＜0.60＝1，故1.50.6＞0.60.6，又函数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5＞0.6，所以0.61.5＜0.60.6，故0.61.5＜0.60.6＜1.50.6，即b＜a＜c.故选C. (2)由2x2＋1≤＝24－2x，得x2＋1≤4－2x，解得－3≤x≤1，所以2－3≤2x≤2，即函数y＝2x的值域是.故选B. 答案：(1)C　(2)B 方法技巧 指数函数性质应用的关注点 1．对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 2．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． 3．解不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)＞ag(x)⇒f(x)＞g(x)(a＞1)或f(x)＜g(x)(0＜a＜1)． 学生用书第94页 即时练2．函数f(x)＝的单调递增区间为(　　) A． B． C． D． A　[由x2－x－1≥0，得x≤或x≥.易知函数t＝在上单调递减，在