第三章 3 第1课时 指数函数的概念、图象-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§3　指数函数 第1课时　指数函数的概念、图象 [学习目标]　1.通过具体实例，理解指数函数的概念．2．会画指数函数的图象并能简单应用． 知识点一　指数函数的概念 请回答以下问题： 1．拿一张报纸，将这张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间、折叠次数x与对折后的面积S(设原面积为1)之间的对应关系是什么？ 提示：第x次折叠后对应的层数y＝2x(x∈N*)，对折后的面积S＝(x∈N*)． 2．上述两个函数关系式共同点是什么？ 提示：两函数关系式都是指数幂的形式，自变量x在指数位置，底数是常数． 指数函数的概念 1．定义：当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应，因此，y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数． 2．指数函数的基本性质 (1)定义域是R，函数值大于0； (2)图象过定点(0，1)． [微提醒]　指数函数的特征： (1)底数a＞0，且a≠1. (2)自变量x在指数的位置． (3)指数幂的系数为1. (1)(多选)给出下列函数，不是指数函数的是(　　) A．y＝2·3x B．y＝(－2)x C．y＝3x D．y＝x3 (2)若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝ ． 解析：(1)A中，3x的系数是2，故A不是指数函数；B中，底数－2＜0，不是指数函数；C中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故C是指数函数；D中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故D不是指数函数．故选ABD. (2)由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，可得解得 所以a＝2. 答案：(1)ABD　(2)2 　　方法技巧 判断一个函数是否为指数函数的方法 1．看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式． 2．明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数． 即时练1．(多选)下列函数是指数函数的有(　　) A．y＝x4 B．y＝x C．y＝22x D．y＝－3x BC　[对于A，函数y＝x4不是指数函数，对于B，函数y＝x是指数函数；对于C，函数y＝22x＝4x是指数函数；对于D，函数y＝－3x不是指数函数．故选BC.] 即时练2．若函数f(x)＝(2a－3)·ax是指数函数，则f的值为(　　) A．2 B．－2 C．－2 D．2 D　[因为函数f(x)是指数函数，所以2a－3＝1，所以a＝2，所以f(x)＝2x，f ＝2＝2.故选D.] 学生用书第90页 知识点二　指数函数的图象 请回答以下问题： 1．用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y＝2x与y＝3x的图象． x －2 －1 0 1 2 y＝2x y＝3x 提示：(1)　　1　2　4　　　1　3　9 (2)y＝2x和y＝3x的图象如图所示． 2．用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y＝与y＝的图象． x －2 －1 0 1 2 y＝x y＝x 提示：(1)　 4　 2　1　　　9　3　1　　 (2) y＝和y＝的图象如图所示． 3．观察y＝2x和y＝3x的图象以及y＝x和y＝x的图象，它们各具有什么简单性质？ 提示：y＝2x和y＝3x图象上升，函数单调递增；y＝和y＝图象下降，函数单调递减；它们的图象都在x轴上方，恒过点(0，1)． 指数函数的图象与简单性质 1．指数函数的图象 a＞1 0＜a＜1 图象 2．一般地，当a＞1时，指数函数y＝ax的定义域是R，值域是(0，＋∞)，过定点(0，1)，在R上是增函数．当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0. 对于函数y＝ax和y＝bx(a＞b＞1)： (1)当x＜0时，0＜ax＜bx＜1； (2)当x＝0时，ax＝bx＝1； (3)当x＞0时，ax＞bx＞1. 3．一般地，当0＜a＜1时，指数函数y＝ax的定义域是R，值域是(0，＋∞)，过定点(0，1)，在R上是减函数．当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大． 对于函数y＝ax和y＝bx(0＜a＜b＜1)， (1)当x＜0时，ax＞bx＞1； (2)当x＝0时，ax＝bx＝1； (3)当x＞0时，0＜ax＜bx＜1. (链接教材P85例1)比较下列各题中两个数的大小： (1)1.11.1，1.10.9；(2)0.1－0.2，0.10.9；(3)1.52.5和1.53.2；(4)a0.5与a0.6(a＞0，且a≠1)． 解析：(1)因为y＝1.1x是增函数，1.1＞