第三章 2 指数幂的运算性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§2　指数幂的运算性质 [学习目标]　1.理解实数指数幂的运算性质及利用性质进行综合运算．2.能够熟练利用指数幂的运算性质进行化简、求值与证明． 知识点　指数幂的运算性质 请回答下列问题： 1．在初中，我们已经学习了整数指数幂，那么整数指数幂有哪些运算性质？ 提示：am·an＝am＋n；(am)n＝amn；(ab)m＝ambm，其中a，b是正数，m，n是正整数． 2．能否把整数指数幂的运算性质推广到实数指数幂？ 提示：能推广． 对于任意正数a，b和实数α，β，实数指数幂均满足下面的运算性质： (1)aα·aβ＝aα＋β；(2)(aα)β＝aαβ；(3)(ab)α＝aαbα． [微提醒]　(1)＝aα－β，α＝；(2)注意公式的使用范围． 角度1　指数幂的基本运算 计算下列各式的值： (1)－9.60－＋1.5－2； (2)0.25－×3＋×－1； (3) ＋＋(－8)＋80.25×. 解析：(1)－9.60－＋1.5－2＝－1－＋－2＝－1－＋2 ＝－1－＋＝. (2)原式＝－2×2－2＋2×2＝－1－4×＋2＝2－1＋2＝3. (3)＋＋(－8)＋80.25×＝＋＋2＋2×2＝－π＋＋4＋2＝11－π. 　　方法技巧 　　在进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数以便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的． 即时练1．计算下列各式的值： (1)0.027－－2＋2560.75－3－1＋0； (2)80.25×＋(×)6－＋1.6－×0； (3)÷0.062 50.25. 解析：(1)0.027－－2＋2560.75－3－1＋0 ＝－36＋(28)－＋1＝－36＋26－＋1 ＝－36＋64－＋1＝32. (2)原式＝2×2＋4×27－＋×1＝2＋108＝110. (3)原式＝[－＋÷×]÷ ＝÷＝×2＝. 学生用书第88页 角度2　应用指数幂的运算性质化简 化简： (1)×÷(－3ab)×(4ab)； (2)； (3). 解析：(1)×÷×＝2×÷×4ab＝16a. (2)＝＝x－y－＝xy. (3)法一：(从外向里化简)＝＝＝＝··＝··＝＝y. 法二：(从里向外化简)＝＝＝ ＝＝y. 　　方法技巧 指数幂运算的常用技巧 1．有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． 2．负指数幂化为正指数幂的倒数． 3．底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质． 注意根式的运算技巧： (1)各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数幂，再运算； (2)多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂． 即时练2．化简： (1)ab－×÷＝__________； (2) ÷ ＝ ； (3) ÷ ＝　. 解析：(1)原式＝ab×÷(2ab)＝－ab＝－b. (2)因为有意义，所以a＞0， 所以原式＝÷＝÷＝a÷a＝1. (3) ÷ ＝÷＝ ÷＝a÷a＝1. 答案：(1) －b　 (2)1　(3)1 整体代换求分数指数幂 (1)已知非零实数a满足a－a－1＝2，求的值． (2)已知x＋x－1＝3，求证：＝﹒ 解析：(1)因为a－a－1＝2，所以2＝4，所以a2＋a－2－2＝4，即a2＋a－2＝6. 所以原式＝＝＝＝6. (2)证明：因为x＋x－1＝3，所以x＞0，x＋x－＞0， 因为(x＋x)2＝x＋x－1＋2x·x＝3＋2＝5，所以x＋x＝， 因为(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2x·x－1＝9，所以x2＋x－2＝7，所以＝. 　　方法技巧 利用整体代换法求分数指数幂 1．分析观察条件与结论的结构特点，可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代换法”巧妙地求出代数式的值． 2．利用“整体代换法”求值时常用的变形公式如下： x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝(x－x－1)2＋2; (a＋b)(a－b)＝a－b(a＞0，b＞0)； a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)； a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)． 即时练3．已知a2m＋n＝，am－n＝256，a＞0，且a≠1，则a4m＋n＝ ． 解析：因为a2m＋n＝＝2－2，am－n＝256＝28， 所以两式相乘得a3m＝26，则am＝22. 将am＝22代入am－n＝28，得an＝2－6，所以a4m＋n＝a4m·an＝4·an＝4×2－6＝22＝4. 答案：4 即时练4．已知x＋x－＝3， 计算：. 解析：因为x＋x＝3，所以2＝9，所以x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7， 所以2＝72，即x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47， 所以＝＝4. 学生用书第89页 1．已知a＞0，则a·＝(　　) A．a