第三章 1 指数幂的拓展-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§1　指数幂的拓展 [学习目标]　1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂之间的相互转化．2.了解无理数指数幂和实数指数幂的含义． 知识点一　正分数指数幂 被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，a＞0，是否可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？ 提示：可以.＝a，＝a＝a，＝a，＝a＝a. 正分数指数幂 　　给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂．记作b＝a，这就是正分数指数幂．其性质为： (1)当k是正整数时，分数指数幂a满足：a＝a． (2)在分数指数幂a中，底数a＞0．a＝，其中读作“n次根号下a的m次方”． [微提醒]　在指数幂的概念中，总有a＞0. (链接教材P77例1)把下列各式中的正数b写成分数指数幂的形式： (1)b10＝100；(2)b4＝(－3)2； (3)b5n＝π3m(m，n∈N＋)． 解析：(1)b＝100. (2)b4＝9，所以b＝9. (3)b＝π. 　　方法技巧 　　分数指数幂a是一个实数，且b＝a⇒bn＝am，其中a，b均为正数，m，n∈Z，且m，n互素． 即时练1．把下列各式中的正数b写成分数指数幂的形式： (1)b5＝32；(2)b4＝35；(3)b3＝(－2)6. 解析：(1)b＝32. (2)b＝3. (3)b3＝(－2)6＝26，所以b＝64. 知识点二　负分数指数幂 　类比＝2－1，＝3－2，你能用分数指数幂表示吗？ 提示：＝＝3－. 负分数指数幂 　　类似负整数指数幂的定义，可以定义负分数指数幂．给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)， 定义： a－＝ ＝. 学生用书第85页 (1)把根式改写成分数指数幂的形式是(　　) A．(a－b) B．(a－b) C．a－b D．a－b (2)若有意义，则x的取值范围是(　　) A． B．∪ C． D． 解析：(1)根据分数指数幂的含义可以得到A是正确的． (2)因为＝，则1－2x＞0，解得x＜.故选D. 答案：(1)A　(2)D 　　方法技巧 根式与分数指数幂互化的规律 1．根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． 2．在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式． 即时练2．下列各式中，正确的是(　　) A．－＝ B．a＝－ C．＝a D．＝ D　[对于A，－＝－a，a≥0，故A错误；对于B，a＝，－＝－a，故B错误； 对于C，＝故C错误；对于D，＝，故D正确．故选D.] 即时练3．设a＞0，m，n是正整数，且n＞1，则下列各式a＝；a0＝1；a＝；正确的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 A　[因为a＞0，m，n是正整数，且n＞1，所以a＝，正确， 显然a0＝1，正确，而a＝＝，所以a＝，正确．故选A.] 知识点三　无理数指数幂 阅读教材77页的分析理解，你能认识无理数指数幂吗？ 提示：可以发现，当指数x 的取值范围从整数拓展到了无理数时，它仍然是一个确定的实数，在数轴上有唯一的点与它对应． 无理数指数幂 一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，aα都是一个确定的实数．规定：a－α＝. (多选)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是(　　) A．(－1)和(－1) B．3和 C．2和4 D．4和 BC 　[A不符合题意，(－1)和(－1)不符合分数指数幂的定义，且(－1)＝＝－1，(－1)＝＝1； B符合题意，＝3； C符合题意，4＝＝2； D不符合题意，4和均符合分数指数幂的定义，但4＝＝，＝23＝8.故选BC.] 　　方法技巧 　　一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 　　由于实数分为有理数和无理数，则引入了无理数指数幂后，我们就把指数幂中指数的范围拓展到了全体实数． 即时练4．(多选)下列各式是无理数指数幂的是(　　) A． B．2 C．3 D．10－ BCD　换换换[根据无理数指数幂的定义知BCD正确．] 根式与分数指数幂的互化 用根式的形式表示下列各式(x＞0，y＞0)： (1)x；(2)x；(3)xy. 解析：(1)x＝. (2)x＝. (3)xy＝. 学生用书第86页 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)： (1)；　(2)；　(3). 解析：(1)＝a. (2)＝＝a. (3)＝＝ba＝ab. 　　方法技巧 　　在实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．当a≤0时，a有时有意义，有时无意义．如(－1)＝＝－1，但就不是实数了．为了保证在取任何实数时，a都有意义，所以规定a＞0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分． 即时练5．(多选)下列关系式中，根式与分数指数幂的