第六章 4.2 & 4.3 分层随机抽样的均值与方差 百分位数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

4.2 & 4.3　分层随机抽样的均值与方差　百分位数 [学习目标]　1.理解分层随机抽样的平均数与方差公式的推导过程，会求分层随机抽样的平均数与方差．2.理解百分位数的统计含义，会求样本数据的p分位数． 知识点一　分层随机抽样的均值 某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的平均数，并对高一年级全体学生的身高作出估计吗？ 提示：把男生样本记为x1，x2，…，x23，其平均数记为x (_)，方差记为s；把女生样本记为y1，y2，…，y27，其平均数记为y (_)，方差记为s；把总样本数据的平均数记为z (_)，由x (_)＝170.6，y (_)＝160.6，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为z (_)＝x (_)＋y (_)＝＝165.2.据此估计高一年级全体学生身高的总体平均数为165.2. 分层随机抽样的平均数 1．定义：一般地，将样本a1，a2，…，am和样本b1，b2，…，bn合并成一个新样本，则这个新样本的平均数为＝·＋·. 若已知上述两层构成的新样本中每层的平均数分别为x (_)1和x (_)2，则这个新样本的平均数为＋． 记w1＝，w2＝，则这个新样本的平均数为w1＋w2，其中w1，w2称为权重． 2．一般地，设样本中不同层的平均数和相应权重分别为x (_)1，x (_)2，…，x (_)n和w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数为w1x (_)1＋w2x (_)2＋…＋wnx (_)n. 记作ix (_)i＝w1x (_)1＋w2x (_)2＋…＋wnx (_)n． [微提醒]　求分层随机抽样的平均数的步骤 (1)求样本中不同层的平均数； (2)应用分层随机抽样的平均数公式计算． (链接教材P172例4)某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0，0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽多少人？整个学校平均视力是多少？ 解析：初中部人数为60×＝34，高中部人数为60×＝26，学校平均视力为×1.0＋×0.8≈0.91，所以在初中部、高中部各抽34人，26人，学校平均视力约为0.91. 　　方法技巧 使用分层随机抽样的平均数公式的注意点 1．第i层的权重wi，第i层的样本个体数xi，样本容量n，三者满足wi＝，已知其中2个求另外1个． 2．在利用公式求分层随机抽样的平均数时，要清楚公式中各符号的含义． 即时练1．某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均值，按比例分配进行分层随机抽样，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则高二总体数学成绩平均值为(　　) A．110 B．125 C．95 D．105 D　[总体数学成绩平均值为＝105.故选D.] 学生用书第152页 知识点二　分层随机抽样的方差 对于知识点一问题导思中的问题，你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高作出估计吗？ 提示：把男生样本记为x1，x2，…，x23，其平均数记为x (_)，方差记为s；把女生样本记为y1，y2，…，y27，其平均数记为y (_)，方差记为s；把总样本数据的平均数记为z (_)，方差记为s2. 根据方差的定义，总样本方差为s2＝[(xi－z (_))2＋(yj－z (_))2]＝[(xi－x (_)＋x (_)－z (_))2＋(yj－y (_)＋y (_)－z (_))2]. 由(xi－x (_))＝xi－23x (_)＝0，可得2(xi－x (_))(x (_)－z (_))＝2(x (_)－z (_))(xi－x (_))＝0. 同理可得(yj－y (_))(y (_)－z (_))＝0.因此， s2＝[(xi－x (_))2＋(x (_)－z (_))2＋(yj－y (_))2＋(y (_)－z (_))2]＝{23[s＋(x (_)－z (_))2]＋27[s＋(y (_)－z (_))2]}．①；把已知男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得s2＝{23×[12.59＋(170.6－165.2)2]＋27×[38.62＋(160.6－165.2)2]}＝51.486 2. 故总样本的方差为51.486 2，据此估计高一年级全体学生身高的总体方差为51.486 2. 分层随机抽样的方差 　　设样本中不同层的平均