第六章 4.1 样本的数字特征-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§4　用样本估计总体的数字特征 4.1　样本的数字特征 [学习目标]　1.会求样本的众数、中位数、平均数、极差、方差、标准差，并理解它们的意义和作用．2.能够利用样本的数字特征估计总体的数字特征，并作出合理的解释和决策． 知识点一　反映数据集中程度的数字特征 　在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势，那么什么是众数、中位数呢？ 提示：众数就是在一组数中出现次数最多的数；中位数就是将一组数按照从小到大的顺序排列，位于中间位置的数，如果中间位置有两个，则为这两个数的平均数． 1．平均数：指一组数据的平均值．若n个数x1，x2，…，xn, 则x (_)＝(x1＋x2＋…＋xn)称为这n个数的平均数． 2．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数据称为这组数据的中位数． 3．众数：一组数据中重复出现次数最多的数据． [微提醒]　一组数据的平均数、中位数都是唯一的；而众数不一定唯一，可以有一个，也可以有多个． (1)某班班主任为了了解该班学生寒假期间做家务劳动的情况，随机抽取该班15名学生，调查得到这15名学生寒假期间做家务劳动的天数分别是8，18，15，20，16，21，19，18，19，10，6，20，20，23，25，这组数据的中位数和众数分别是(　　) A．18，20 B．18.5，20 C．19，20 D．19.5，20 (2)期中考试后，班长算出了全班40人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均数为N，那么等于(　　) A． B．1 C． D．2 解析：(1)将这15名学生寒假期间做家务劳动的天数由小到大排列可得：6，8，10，15，16，18，18，19, 19, 20，20，20, 21, 23，25.其中第8位数是19，由中位数的定义可得这组数据的中位数为19；其中出现的最多的数据为20，故众数为20.故选C. (2)平均数是用所有数据的和除以数据的总个数而得到的．设40位同学的成绩为xi(i＝1，2，…，40)，则M＝，N＝＝M，故＝1.故选B. 答案：(1)C　(2)B 　　方法技巧 平均数、众数、中位数的计算方法 　　平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数． 即时练1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为(　　) A．85，85，85 B．87，85，86 C．87，85，85 D．87，85，90 C　[平均数为＝87，众数为85，中位数为85.故选C.] 即时练2．(多选)(2023·辽宁大连期末)某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评．工作人员在本区选取了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个实地点位进行现场测评，下表是两个街道的测评分数(满分100分)，则下列说法错误的是(　　) 甲 75 79 82 84 86 87 90 91 93 98 乙 73 81 81 83 87 88 95 96 97 99 A．甲、乙两个街道的测评分数的极差相等 B．甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等 C．乙街道的测评分数的众数为87 D．甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大 ABC　[对于A，甲街道测评分数的极差为98－75＝23；乙街道测评分数的极差为99－73＝26；两者不相等，A错误；对于B，甲街道测评分数的平均数为＝86.5； 乙街道测评分数的平均数为 ＝88；两者不相等，B错误；对于C，由众数定义知：乙街道测评分数的众数为81，C错误；对于D，甲街道测评分数的中位数为＝86.5；乙街道测评分数的中位数为＝87.5；所以乙的中位数较大，D正确．故选ABC.] 学生用书第149页 知识点二　反映数据离散程度的数字特征 　有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲　7　8　7　9　5　4　9　10　7　4 乙　9　5　7　8　7　6　8　6　7　7 如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价？ 提示：经计算得：x (_)甲＝(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得x (_)乙＝7.还经常用甲乙的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度．甲的环数极差＝10－4＝6，乙的环数极差＝9－5＝4.它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，所以甲、乙射击的平