第二章 第三节 培优微课5 抽象函数的“中心对称”与“轴对称”-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美．下面通过函数自身的对称性和两个不同函数之间的对称性，这两个方面来探讨函数与对称性有关的性质． 类型一　函数自身的对称性 1．函数图象关于直线对称 y＝f(x)在定义域内 恒满足的条件 y＝f(x)图象的 对称轴 f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a f(x)＝f(a－x) 直线x＝ f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝ 2．函数图象关于点对称 y＝f(x)在定义域内 恒满足的条件 y＝f(x)图象的 对称中心 f(a－x)＝－f(a＋x) (a，0) f(x)＝－f(a－x) f(a＋x)＝－f(b－x) f(a＋x)＋f(b－x)＝c (1)若函数f(2x＋1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心为(　　) A．(0，0)　 B．(1，0)　 C．(－1，0)　 D． (2)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)＝f(4－x)，则函数y＝f(x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝2对称 C．关于直线x＝3对称 D．关于直线x＝4对称 (3)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋4)是偶函数，f(6)＝3，f(x)在(－∞，4]上单调递减，则不等式f(2x－4)＜3的解集为(　　) A．(4，6) B．(－∞，4) ∪(6，＋∞) C．(－∞，3) ∪(5，＋∞) D．(3，5) 解析：(1)若f(2x＋1)是奇函数， 则f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，可得f(x)＝－f(2－x)，即函数f(x)的对称中心为(1，0)．故选B. (2)因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称的充要条件是f(a＋x)＝f(b－x)(a，b为常数)，又因为f(x＋2)＝f(4－x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝＝3对称．故选C. (3)因为f(x＋4)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝4对称， 则f(6)＝f(2)＝3.因为f(x)在(－∞，4]上单调递减，所以f(x)在[4，＋∞)上单调递增， 故f(2x－4)＜3等价于2＜2x－4＜6，解得3＜x＜5.故选D. 答案：(1)B　(2)C　(3)D 　　方法技巧 1．函数 y＝f(x)的图象关于直线x＝对称的充要条件为f(a＋x)＝f(b－x)(a，b为常数)． 特别地，函数 y＝f(x)的图象关于y轴对称的充要条件是f(x)＝f(－x)． 2．函数y＝f(x)的图象关于点对称的充要条件为f(a＋x)＋f(b－x)＝c(a，b，c为常数)．特别地，函数 y ＝ f(x)的图象关于原点O对称的充要条件是f(x)＋f(－x)＝0. 即时练1．(多选)函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，那么(　　) A．f(2－x)＝f(x) B．f(1－x)＝f(1＋x) C．函数y＝f(x＋1)是偶函数 D．函数y＝f(x－1)是偶函数 ABC　换换换[由f(x)的图象关于x＝1对称，可知f(2－x)＝f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)，把函数f(x)的图象向左平移1个单位可得y＝f(x＋1)的图象，关于x＝0对称，即为偶函数，把函数f(x)的图象向右平移1个单位可得y＝f(x－1)的图象，关于x＝2对称，不是偶函数．故选ABC.] 即时练2．偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，f(4)＝2，则f(2)＝ ． 解析：偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，可得f(x)＝－f(2－x)，令x＝－2，即有f(－2)＝－f(4)，即有f(4)＝－f(－2)＝－f(2)＝2，则f(2)＝－2. 答案：－2 即时练3．函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f ，f 由小到大依次为 ． 解析：因为函数y＝f(x＋2)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f ＝f ， f ＝f ，又函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，所以f ＜f(1)＜f ，所以f ＜f(1)＜f . 答案：f ＜f(1)＜f 学生用书第77页 类型二　两个函数之间的对称 1．轴对称 若函数y＝f(x)的定义域为R，则两函数y＝f(x＋a)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．特殊地，函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝0对称． 2．中心对称 若函数y＝f(x)的定义域为R，则两函数y＝f(a＋x)与y＝c－f(b－x)的图象关于点对称．特殊地，函数y＝f(x＋a)与函数y＝－f(b－x)图象关于点对称． 设函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝3对称，