第二章 第三节 培优微课4 含参数的二次函数的单调性与最值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行分类讨论． 求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间[m，n]上的最值一般分为以下几种情况： (1)若x＝－在区间[m，n]内，则最小值为f(－)，最大值为f(m)，f(n)中较大者； (2)若x＝－＜m，则f(x)在区间[m，n]上单调递增，最大值为f(n)，最小值为f(m)； (3)若x＝－＞n，则f(x)在区间[m，n]上单调递减，最大值为f(m)，最小值为f(n)． 类型一　已知二次函数单调性求参数的范围 函数y＝x2＋2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是(　　) A．[－2，＋∞)　　　 B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，2] A　换换换[函数y＝x2＋2mx＋1为开口向上的抛物线，对称轴为x＝－m， 函数y＝x2＋2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则－m≤2，解得m≥－2.故选A.] 　　方法技巧 　　解决二次函数单调性问题的关键是利用数形结合思想，重点研究二次函数的开口方向和对称轴，结合图象求解．解题时应注意所给条件是“在某区间上单调”还是“单调区间为某区间”． 即时练1．设函数f(x)＝x2＋2(4－a)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥－7 B．a≥7 C．a≥3 D．a≤－7 B　换换换[函数f(x)的对称轴为x＝a－4，又因为函数在(－∞，3]上为减函数，所以a－4≥3，即a≥7.故选B.] 即时练2．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}，f(x)＜－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．m≤0 B．0≤m＜ C．m＜0或0＜m＜ D．m＜ D　换换换[若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}，f(x)＜－m＋4恒成立；即mx2－mx＋m－5＜0在x∈{x|1≤x≤3}上恒成立，令g(x)＝mx2－mx＋m－5，当m＝0时，g(x)＝－5＜0恒成立；当m≠0时，g(x)为二次函数，对称轴为x＝；当m＜0时，g(x)开口向下且在[1，3]上单调递减，所以在[1，3]上g(x)max＝g(1)＝m－5＜0，得m＜5，故有m＜0；当m＞0时，g(x)开口向上且在[1，3]上单调递增，所以在[1，3]上g(x)max＝g(3)＝7m－5＜0，得0＜m＜；综上，实数m的取值范围为m＜.故选D.] 类型二　含参数的二次函数的单调性与最值 角度1　定轴定区间的最值问题 函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间[－5，5]上的最大值、最小值分别是(　　) A．12，－　　　 B．2，12 C．42，－ D．最小值是－，无最大值 C　换换换[y＝x2＋3x＋2＝－，抛物线的开口向上，对称轴为x＝－，所以在区间[－5，5]上，当x＝－时，y有最小值－；当x＝5时，y有最大值42，函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间[－5，5]上的最大值、最小值分别是：42，－.故选C.] 学生用书第67页 方法技巧 　　即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值(可结合图象)．　　 即时练3．已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值： (1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]． 解析：f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7. (1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．故函数f(x)的最小值为－7，无最大值． (2)函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示．由图可知，在[0，3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7. (3)由图可知，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4. 角度2　动轴定区间的最值问题 已知函数f(x)＝x2－2ax＋3，x∈[－2，3]． (1)当a＝2时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)的最小值为a，求实数a的值． 解析：(1)当a＝2时，f(x)＝x2－4x＋3， x∈[－2，3]， 所以函数f(x)的对称轴为直线x＝2， 因为f(－2)＝15，f(2)＝－1，f(3)＝0， 所以f(x)min＝－1，f(x)max＝15.所以当a＝2时，函数f(x)的值域为[－1，15]． (2)易知函数f