第二章 4.2 简单幂函数的图象和性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

4.2　简单幂函数的图象和性质 [学习目标]　1.了解幂函数的概念．2.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质．3.结合幂函数的性质，能利用数形结合的方法解决与幂函数相关的问题． 知识点一　幂函数的概念 下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？ (1)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数； (2)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝，这里c是S的函数； (3)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝km/s，即v＝t－1，这里v是t的函数． 提示：(1)S＝a2；(2)c＝S；(3)v＝t－1.这些解析式都是幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数为常数． 幂函数的概念 　一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． [微提醒]　幂函数的特征： (1)自变量前的系数为1；幂的系数为1. (2)xα的底数是自变量x，指数α为常数． (3)幂函数的定义域与α有关． (1)(多选)下列函数中是幂函数的是(　　) A．y＝　　　　　 B．y＝2x2 C．y＝2x＋1 D．y＝x 学生用书第78页 (2)(多选)(2023·广东茂名高一期末)若函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值可能是(　　) A．k＝3 B．k＝－3 C．k＝－2 D．k＝2 解析：(1)幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，A是α＝－1的情形，D是α＝的情形，所以A和D都是幂函数；B中x2的系数是2，不是幂函数；易知C不是幂函数．故选AD. (2)因为函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，所以k2－k－5＝1，解得k＝－2或k＝3.故选AC. 答案：(1)AD　(2)AC 　　方法技巧 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需要满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 即时练1．(2023·山东日照开学考试)已知幂函数f(x)＝k·xα(k∈R，α∈R)的图象经过点(4，)，则k＋α＝(　　) A． B．1 C． D．2 A　换换换[因为函数f(x)为幂函数，所以k＝1，则f(x)＝xα，又因为f(x)的图象经过点(4，)，所以4α＝，得α＝－，所以k＋α＝1－＝.故选A.] 即时练2．(2023·上海浦东新区测试)已知m为常数，函数y＝(2m2＋m－2)x2m＋1为幂函数，则m的值为 ． 解析：因为函数y＝(2m2＋m－2)x2m＋1为幂函数，则2m2＋m－2＝1，即2m2＋m－3＝0，解得m＝－或m＝1. 答案：－或1 知识点二　简单幂函数的图象 请回答以下问题： 1．根据所学的二次函数、一次函数、反比例函数，我们应该从哪些方面来研究幂函数？ 提示：根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数的图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题． 2．你能在同一坐标系中作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝这五个函数的图象吗？ 提示： 简单幂函数的图象 简单幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象． 如图是幂函数y＝xn的部分图象，已知n取，2，－2，－这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为(　　) A．2，，－，－2 B．－2，－，，2 C．－，－2，2， D．2，，－2，－ A　[法一：　曲线C1，C2过点(0，0)，(1，1)，且在第一象限内单调递增，所以n＞0，n为，2，显然C1对应y＝x2，C2对应y＝x.C3，C4过点(1，1)，且在第一象限内单调递减，所以n＜0，n为－2，－，显然C3对应y＝x，C4对应y＝x－2.故选A. 法二：　取x＝2，分别代入y1＝x2，y2＝x，y3＝x－，y4＝x－2，可求得y1＝4，y2＝，y3＝，y4＝，比较得y1＞y2＞y3＞y4，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为2，，－，－2.故选A.] 点(，2)与点(－2，－)分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有： (1)f(x)＞g(x)；　 (2)f(x)＝g(x)； (3)f(x)＜g(x)． 解析：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.因为()α＝2，(－2)β＝－，所以α＝2，β＝－1， 所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象， 如图所示．由图象知， (1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)＞g(x)； (2)当x＝1时，f(x)＝g(x)； (3)当x∈(0，1)时，f(x)＜g(x)． 学生用书第79