第二章 4.1 第2课时 函数奇偶性的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

第2课时　函数奇偶性的应用 [学习目标]　1.进一步理解函数奇偶性和单调性的概念．2.理解奇偶性对单调性的影响，并能用来解决比较大小、求最值、解不等式等问题． 知识点一　利用函数的奇偶性求函数解析式 如果函数f(x)和g(x)都是奇函数， 那么f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，(g(x)≠0)的奇偶性如何？ 提示：如果函数f(x)和g(x)都是奇函数，那么 f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)均为奇函数， f(x)·g(x)，(g(x)≠0)均为偶函数． 关于奇偶函数的几个性质 1．两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数． 2．奇偶性相同的两个函数的积(商，分母不为零)为偶函数；奇偶性相反的两个函数的积(商，分母不为零)为奇函数． 3．如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，则f(0)＝0. 4．如果函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)． 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 解析：当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3. 因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0. 故f(x)＝ 学生用书第73页 [变式探究] (变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x＜0时，函数f(x)的解析式． 解析：当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，因为函数f(x)是偶函数， 所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，即当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＋3. 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解析：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 在f(x)＋g(x)＝2x＋x2中，① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， 所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，② (①＋②)÷2，得f(x)＝x2. (①－②)÷2，得g(x)＝2x. 所以f(x)＝x2，g(x)＝2x. 　　方法技巧 利用函数奇偶性求函数解析式的步骤 第一步：“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； 第二步：转化到已知区间上，代入已知的解析式； 第三步：利用f(x) 的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 即时练1．若函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝(　　) A．－x(1＋x) B．－x(1－x) C．x(1＋x) D．x(1－x) D　换换换[当x＜0时，－x＞0，由奇函数的定义可得f(x)＝－f(－x)＝－(－x)(1－x)＝x(1－x)．故选D.] 即时练2．已知f(x)是R上的偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式． 解析：因为当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)． 因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x(x－1)，x∈(－∞，0)． 所以f(x)＝ 知识点二　函数奇偶性与单调性的应用 想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？ 提示：奇函数在(1，2)上单调递减，偶函数在(1，2)上单调递增． 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为－M． 4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N． 以上a，b符号相同． (1)已知定义在[2a－1，3a]上的奇函数f(x)＝x3＋(2b－1)x2＋x＋(2a－c)，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　) 学生用书第74页 A．f(a)＞f(b)＞f(c) B．f(c)＞f(b)＞f(a) C．f(b)＞f(a)＞f(c) D．f(b)＞f(c)＞f(a) (2)已知函数f(x)＝，则不等式