第二章 4.1 第1课时 函数的奇偶性-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1　函数的奇偶性 第1课时　函数的奇偶性 [学习目标]　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义．2.能根据函数奇偶性的概念判断函数的奇偶性，能运用函数的奇偶性解决一些简单问题． 知识点一　函数奇偶性的概念与判断 请回答以下问题： 1．观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示：这两个函数图象都关于y轴对称． 2．观察函数f(x)＝x和g(x)＝的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示：两个函数的图象都关于原点成中心对称． 奇函数、偶函数的定义 奇函数 偶函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数 定义域 特征 定义域必须是关于坐标原点对称的区间，也就是说奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称 等价 形式 f(x)＋f(－x)＝0 f(x)－f(－x)＝0 ＝－1(f(x)≠0) ＝1(f(x)≠0) 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性． [微提醒]　若函数的定义域关于原点对称，满足f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则函数f(x)既是奇函数也是偶函数；若函数的定义域不关于原点对称，则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (链接教材P67例2)根据定义，判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 解析：(1)因为函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (2)因为函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又因为f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)因为函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． 学生用书第70页 　　方法技巧 判断函数奇偶性的两种方法 1．定义法 2．图象法 注意：　对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式． 即时练1．根据定义，判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3－； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝ 解析：(1)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． (2)因为f(x)的定义域为{x|x≠－2}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (3)因为f(x)的定义域为{－，}，关于原点对称， 且f(x)＝0，则f(x)既是奇函数又是偶函数． (4)因为函数f(x)的定义域为R，所以函数f(x)的定义域关于原点对称． ①当x＞1时，－x＜－1，所以f(－x)＝(－2)×(－x)＝2x＝f(x)； ②当－1≤x≤1时，－1≤－x≤1， 所以f(－x)＝f(x)＝2； ③当x＜－1时，－x＞1，所以f(－x)＝2×(－x)＝－2x＝f(x)． 综上，可知函数f(x)为偶函数． 知识点二　奇、偶函数图象的特征及应用 观察下面两个函数图象，说明它们的奇偶性与对应图象有什么对称规律？ 提示：函数y＝x是奇函数，图象关于原点对称；函数y＝x2是偶函数，图象关于y轴对称． 1．奇函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称；反之，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数． 2．偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． 定义在R上的奇函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示． (1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象； (2)解不等式xf(x)＞0. 解析：(1)先描出(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，连线可得f(x)的图象如图． (2)xf(x)＞0，即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)＞0的解集是(－2，0)∪(0，2)． 学生用书第71页 [变式探究] (变条件)把本例中的“奇函数”改为“偶函数”， (1)画出函数f(x)的图象