第二章 3 第2课时 函数的单调性和最值的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

第2课时　函数的单调性和最值的应用 [学习目标]　1.掌握函数单调性的定义证明或判断函数的单调性．2.会利用函数的单调性解决求最值、解不等式、比较大小等问题． 应用一　判断函数的单调性 已知函数f(x)＝，且f＝－4，f(2)＝－2. (1)求f(x)的解析式； (2)判断f(x)在上的单调性，并用定义证明． 解析：(1)由题意，得 即 解得：a＝2，b＝－10.故f(x)＝. (2)f(x)在上单调递增． 证明：∀x1，x2∈，且x1＜x2， 则f－f＝－＝＝. 由x2＞x1＞－1，得x2－x1＞0，x2＋1＞0，x1＋1＞0， 所以f－f＞0，即f＞f. 故f(x)在上单调递增． 　　方法技巧 利用定义证明函数单调性的四个步骤 即时练1．证明函数f(x)＝x＋在(0，1)上是减函数． 证明：设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝. 因为0＜x1＜x2＜1， 所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜1，则－1＋x1x2＜0， 所以＞0， 即f(x1)＞f(x2)， 所以函数f(x)＝x＋在(0，1)上是减函数． 应用二　利用函数的单调性求最值 已知函数f(x)＝，x∈[3，5]． (1)判断函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 解析：(1)∀x1，x2∈[3，5]，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝ ＝. 因为x1，x2∈[3，5]，所以x1＋2＞0，x2＋2＞0， 因为x1＜x2，所以x1－x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以函数f(x)在[3，5]上单调递增． (2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为；当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为. 学生用书第65页 　　方法技巧 函数的最大(小)值与单调性的关系 1．若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． 2．若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 即时练2．已知函数f(x)＝＋3(x∈[2，4])，求函数f(x)的最大值和最小值． 解析：设x1，x2是[2，4]上任意两个实数，且x1＜x2， 所以f(x1)－f(x2)＝＋3－＝－＝ ＝， 因为2≤x1＜x2≤4，所以x1－x2＜0，1－x1＜0，1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在[2，4]上是增函数，所以f(x)的最大值为f(4)＝1，f(x)的最小值为f(2)＝－3. 应用三　利用函数的单调性比较大小、求参数的范围 已知对f(x)定义域内的任意实数x1，x2，且x1≠x2，＞0恒成立，设a＝f，b＝f(3)，c＝f，则(　　) A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c D　[由＞0可得函数f(x)在R上是增函数，所以f＜f(3)＜f.故选D.] 已知函数f(x)＝(x＞0)． (1)证明：f(x)在上是增函数； (2)若f ＞f，求m的取值范围． 解析：(1)证明：任取0＜x1＜x2， f－f＝－＝－＝，因为0＜x1＜x2， 所以x1－x2＜0，x1x2＞0，故f－f＝＜0，所以f＜f， 所以f(x)在上是增函数． (2)因为f ＞f，且f(x)在上是增函数， 所以解得：＜m＜2， 故m的取值范围是. 　　方法技巧 1．利用单调性比较大小或解不等式的方法 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 2．已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法 (1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围； (2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围． 即时练3．已知函数f(x)在定义域上单调递减，则不等式f＜f的解集为(　　) A． B． C． D． B　[由题意，f(x)在上单调递减．则由f＜f可得解得＜x＜1，即原不等式的解集为.故选B.] 即时练4．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋2.若f(x)的减区间为(－∞，4)，则实数a的值为 ；若f(x)在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围为 ． 解析：由题意知解得a＝，所以实数a的值为. 当a＝0时，f(x)＝－2x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，所以a＝0满足题意；