第二章 3 第1课时 函数的单调性和最值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§3　函数的单调性和最值 第1课时　函数的单调性和最值 [学习目标]　1.理解函数的单调性的定义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．3.理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值． 知识点一　函数的单调性 请回答以下问题： 1．观察下面三个函数图象，它们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？ 提示：函数y＝x的图象从左向右看是上升的，相应函数值随自变量x的增大而增大；函数y＝(x＞0)的图象从左向右看是下降的，相应函数值随自变量x的增大而减小；函数y＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的，相应函数值，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． 2．如何理解函数图象是下降的？ 提示：从左向右的方向看函数的图象，当图象上点的横坐标逐渐增大时，点的纵坐标逐渐变小，即函数的自变量逐渐增大时，对应的函数值逐渐减小． 函数的单调性概念 1．增函数与减函数 函数y＝f(x)在区间I上单调递增，那么区间I叫作函数y＝f(x)的单调递增区间； 函数y＝f(x)在区间I上单调递减，那么区间I叫作函数y＝f(x)的单调递减区间． [微提醒]　x1，x2的三个特征： (1)同区间性，即x1，x2∈I. (2)任意性，即不可用区间I上的两个特殊值代替x1，x2. (3)有序性，即需要区分大小，通常规定x1＜x2. 2．如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间． [微提醒]　单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“∪”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接． (链接教材P62例1 )求下列函数的单调区间： (1)y＝|x2＋2x－3|；(2)y＝－x2＋2|x|＋1. 解析：(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.作出f(x)的图象，保留其在x轴上及x轴上方的部分，将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，得到y＝|x2＋2x－3|的图象，如图(1)所示． 由图象可知，原函数的单调递增区间是[－3，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－3]和[－1，1]． (2)y＝ 即y＝ 函数图象如图(2)所示．由图象可知，原函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间是[－1，0]和[1，＋∞)． 　　方法技巧 求函数单调区间的两种方法 1．定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． 2．图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． 即时练1．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间． 解析：f(x)＝的图象如图所示，由图可知， 函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2]，单调递增区间为[2，＋∞)． 学生用书第62页 知识点二　函数的最值 请回答以下问题： 1．如图是沙漠地带某天气温随时间的变化曲线． 该天的最高气温和最低气温分别是多少？设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？ 提示：该天的最高气温为25 ℃，最低气温为－5 ℃.该天某时刻的气温变化范围是[－5 ℃，25 ℃]． 2．你是怎样理解函数图象最高点的？ 提示：图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值． 函数的最大值、最小值 最值 最大值 最小值 条件 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M，对所有的x∈D，都有： f(x)≤M f(x)≥M 存在x0∈D， 使得f(x0)＝M 存在x0∈D， 使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 　　函数的最大值和最小值统称为最值． [微提醒]　(1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标． (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R，没有最大值和最小值． (3)一个函数至多有一个最大(小)值． (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性． 已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值． 解析：作出函数f(x)的图象，如图．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取得最大值为f(1)＝f(－1)＝1. 当x＝0时，f(x)取得最小值为f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0. 　　方法技巧 图象法求最值的三个步骤 即时练2．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，若F(x)＝则F(x)(　　) A．最大值为3，最小值－1 B．最大值为7－2，无最小值 C．最大值为3，无最小值 D．无最大值，最小值为－1 B　换换换[根据已知条件，可以求出 F(x)＝ 如图所