第二章 1 生活中的变量关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§1　生活中的变量关系 [学习目标]　1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象和函数关系现象．2.能通过实例辨析依赖关系和函数关系．3.了解并理解分段函数的概念． 知识点一　生活中的依赖关系和函数关系 请回答以下问题： 1．小明同学坐摩天轮一圈用时8分钟．摩天轮匀速转动的过程中，他的海拔高度h与摩天轮转动的时间t有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？ 提示：该人的海拔高度与摩天轮转动的时间有依赖关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2 min或6 min或… 2．小明同学坐摩天轮的过程中，现将摩天轮的转动时间t当作自变量，他的海拔高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？ 提示：每取一个t值，有唯一一个h值与之对应． 依赖关系与函数关系 1．依赖关系：如果在一个变化过程中有两个变量，一个变量的变化引起与之相关的另一个变量的变化，这时称这两个变量之间具有依赖关系． 2．函数关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．这时变量x与y就建立起了函数关系． [微提醒]　函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系．要确定变量的函数关系，需先分清谁是自变量，谁是因变量． 下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系； (2)商品的销售额与广告费之间的关系； (3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系； (4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系． 解析：(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数的定义知，二者之间存在函数关系，且冷却时间是自变量，温度计示数是因变量． (2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系． (3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系，更不具有函数关系． (4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且对于每一个时间的值，路程是唯一确定的，因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因变量． 综上可知，(1)(4)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量不存在依赖关系，也不具有函数关系． 　　方法技巧 1．判断两个变量之间是否具有依赖关系，只需分析当其中一个变量变化时，另一个变量是否也发生变化即可，如果发生变化，那么它们具有依赖关系，如果不发生变化，那么它们不具有依赖关系． 2．判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系时，可分以下两个步骤： (1)确定因变量和自变量； (2)判断对于自变量的每一个确定值，因变量是否有唯一确定的值与之对应．若满足，则是函数关系，否则不是函数关系． 学生用书第52页 即时练1．下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？哪些是函数关系？ (1)球的体积和它的半径； (2)用10 m长的绳子围一个矩形，矩形的一边长x与它的邻边长y； (3)家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势； (4)底面积一定的长方体，它的高h与体积V. 解析：(1)中球的任一半径r都有唯一确定的体积V与之对应；(2)中周长为10 m的矩形，它的一边长x确定，它的邻边边长y＝5－x唯一确定；(3)中家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性；(4)中底面积一定的长方体，它的高h与体积V满足正比例关系．综上可知(1)(2)(3)(4)中两个变量之间都存在依赖关系；(1)(2)(4)存在函数关系． 即时练2．将如图所示的葫芦放入水中，直到全部没入水中． (1)葫芦所受的浮力与葫芦没入水中的深度是否具备函数关系？ (2)水面与葫芦相交处的圆的半径与葫芦没入水中的深度是否具备函数关系？ 解析：(1)具备函数关系．只是在葫芦完全没入水中以前，葫芦所受的浮力随葫芦没入水中的深度的变大而变大．而到葫芦完全没入水中以后，葫芦所受的浮力就是一个常量了． (2)若把水面与葫芦相交处的圆的半径作为因变量，葫芦没入水中的深度作为自变量，则它们之间具备函数关系．而将以上两者互换，则不具备函数关系，因为在相同的半径下，葫芦处于水中的深度可能不同． 知识点二　分段函数 某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5 km以内(含5 km)，票价2元． (2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算)．已知两个相邻的站点间相距1 km，沿途(包括起点站和终点站)有11个站点． 请回答以下问题：