第一章 第三节 培优微课2 应用基本不等式求最值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

基本不等式≤(a＞0，b＞0)的应用广泛，方法灵活多变，常见考查情形有连续运用基本不等式求最值、求变量的取值范围、比较大小，另外基本不等式也常和其他知识交汇考查． 类型一　直接利用基本不等式求最值 (1)若x＜0，则x＋的最大值为(　　) A．－2 B．－2 C．－ D．2 (2)若a，b都是正数，则的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：(1)当x＜0时，－x＞0， 所以x＋＝－≤－2＝－2(当且仅当－x＝－，即x＝－1时取等号)，所以x＋的最大值为－2.故选A. (2)因为a，b都是正数，则＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a＞0时取等号．故选C. 答案：(1)A　(2)C 　　方法技巧 　　首先要满足基本不等式的条件，尤其是是否能取到等号；同时应满足两个正数的“积定”或“和定”． 即时练1.(1)已知x＞0，则3x＋的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．2 (2)已知x，y∈R，且x＞0，y＞0，x＋y＝2，那么xy的最大值为(　　) A． B． C．1 D．2 解析：(1)因为x＞0，所以3x＋≥2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．故选D. (2)根据题意，x＞0，y＞0，x＋y＝2， 则xy≤＝1，当且仅当x＝y＝1时等号成立，即xy的最大值为1.故选C. 答案：(1)D　(2)C 类型二　常规配凑法求最值 (1)若－1＜x＜1，则y＝有(　　) A．最大值－1 B．最小值－1 C．最大值1 D．最小值1 (2)函数y＝3x＋(x＞1)的最小值是(　　) A．4 B．2－3 C．2 D．2＋3 解析：(1)因－1＜x＜1，则0＜1－x＜2，于是得y＝－·＝－[(1－x)＋]≤－·2＝－1，当且仅当1－x＝，即x＝0时取“＝”，所以当x＝0时，y＝有最大值－1.故选A. (2)因为x＞1，所以y＝3(x－1)＋＋3≥2＋3＝2＋3，当且仅当3(x－1)＝，即x＝1＋时等号成立．所以函数y＝3x＋(x＞1)的最小值是2＋3.故选D. 答案：(1)A　(2)D 　　方法技巧 1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取等条件． 即时练2.若x＞0，y＞0且x＋y＝xy，则＋的最小值为(　　) A．3 B．＋ C．3＋ D．3＋2 D　换换换[因为x＞0，y＞0且x＋y＝xy，则xy＝x＋y＞y，即有x＞1，同理y＞1， 由x＋y＝xy得：(x－1)(y－1)＝1，于是得＋＝1＋＋2＋＝3＋(＋)≥3＋2＝3＋2， 当且仅当＝，即x＝1＋，y＝1＋时取“＝”，所以＋的最小值为3＋2.故选D.] 即时练3.(2023·江苏常州期中)已知xy＝1，且0＜y＜，则最大值为 ． 解析：由xy＝1且0＜y＜，可得y＝(x＞2)，所以x－4y＝x－＞0， 又＝＝≤＝，当且仅当x－4y＝，即x－4y＝2，又xy＝1，可得x＝＋，y＝时，不等式取等号，即的最大值为. 答案： 类型三　构造不等式法求最值 (1)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的取值范围是(　　) A． B． C． D． (2)已知正实数x，y满足(x＋4)(y＋1)＝9，则xy的最大值等于 ． 解析：(1)因为x2＋y2＋xy＝1⇔xy＝(x＋y)2－1，又因为xy≤，所以(x＋y)2－1≤， 令x＋y＝t，则4t2－4≤t2，所以－≤t≤， 即－≤x＋y≤，当且仅当x＝y时，取等号，所以x＋y的取值范围是.故选A. (2)正实数x，y满足(x＋4)(y＋1)＝9，即xy＋x＋4y＝5， 所以xy＋x＋4y＝5≥xy＋2＝xy＋4， 所以xy＋4≤5(当且仅当x＝4y时，取等号)， 所以－5≤≤1，又≥0，即0≤≤1，则xy的最大值等于1. 答案：(1)A　(2)1 　　方法技巧 　　在给定的等式中，一般同时含有x＋y，xy，然后根据题意利用基本不等式将x＋y，xy相互转化，从而求出最值． 学生用书第36页 类型四　消参法求最值 (1)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　) A．0 B．3 C． D．1 (2)若正实数a，b满足b＋3a＝2ab，则的最大值为 ． 解析：(1)由正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，所以z＝x2－3xy＋4y2. 所以＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y＞0时取等号，此时z＝2y2.所以＋－＝＋－＝－＋1≤1，当且仅当y＝1时取等号，即＋－的最大值是1.故选D. (2)因为正实数a，b满足b＋3a＝2ab，所以a＝， 则＝＝－＋＝－2＋，当＝，即b＝2时，取得最大值. 答案：(1)D　(2) 　　方法技巧 　　消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示