第一章 4.3 一元二次不等式的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

4.3　一元二次不等式的应用 [学习目标]　1.通过具体实例体会一元二次不等式在现实生活中的应用．2.会解简单的分式不等式，在分式不等式的解法中感悟化归思想方法在解不等式中的应用．3.深入理解一元二次不等式的解法，进而学会解答一元二次不等式恒成立问题． 知识点一　简单的分式不等式的解法 ＞0 与(x＋3)(x－1)＞0等价吗？≤0与(x＋2)(x－3)≤0等价吗？ 提示：＞0 与(x＋3)(x－1)＞0等价；≤0与(x＋2)(x－3)≤0不等价，前者的解集中不含－2，后者的解集中含有－2. 简单的分式不等式的解法 学生用书第43页 [微提醒]　将分式不等式转化为整式同解不等式的变形方法如下： 分式不等式 整式同解不等式 ＞0 与或同解；与y1y2＞0同解 ＜0 与或同解；与y1y2＜0同解 ≥0 与同解 ≤0 与同解 特别地，形如＞a(a≠0)的分式不等式，可同解变形为＞0，故可转化为解y2(y1－ay2)＞0. 解下列不等式： (1)≥0；(2)＜3. 解析：(1)原不等式可转化为解不等式组可得x≤－1或x＞3. 即原不等式的解集为(－∞，－1]∪(3，＋∞)． (2)移项并整理，可将原不等式化为＜0，即2(x－1)(x＋1)＜0， 解得－1＜x＜1.所以原不等式的解集为(－1，1)． 　　方法技巧 解分式不等式的策略 1．对于形如＞0(＜0)的不等式可等价转化为f(x)g(x)＞0(＜0)来解决； 对于形如≥0(≤0)的不等式可等价转化为来解决． 2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 即时练1.不等式＞0的解集为(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，－3) C．(－3，2) D．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D　换换换[法一：　将原不等式转化为或解得x＞2或x＜－3.故原不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．故选D. 法二：　将＞0转化为(x＋3)(x－2)＞0，由一元二次不等式的解法得x＞2或x＜－3.故原不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．故选D.] 即时练2.不等式≥0的解集是{x|－1≤x＜5}，则a的值为 ． 解析：由于原不等式等价于因此结合不等式解集知a＝5. 答案：5 知识点二　一元二次不等式的实际应用 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数； (2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． 某自来水厂的蓄水池有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨，其中0≤t≤24. (1)从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？ 最少水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，大约有几小时出现供水紧张现象？ 解析：(1)设供水t小时，水池中存水y吨． 则y＝400＋60t－120＝60(－)2＋40(0≤t≤24)；当t＝6时，ymin＝40， 故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少水量为40吨． (2)令＝x；则x2＝6t，即y＝400＋10x2－120x；依题意400＋10x2－120x＜80， 得x2－12x＋32＜0，解得4＜x＜8，即4＜＜8，＜t＜； 又因为－＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象． 　　方法技巧 解一元二次不等式应用题的步骤 学生用书第44页 即时练3.国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，相关部门制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%. 解析：设税率调低后的“税收总收入”为y元， 则y＝2 400m(1＋2x%)(8－x)%＝－m(x2＋42x－400)(0＜x≤8)． 依题意得y≥2 400m×8%×78%，即－m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%， 整理得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2. 根据x的实际意义，知0＜x≤8，所以0＜x≤2. 故x的取值范围是{x|0＜x≤2}． 三个“二次”之间的关系 (多选)(2023·山东蓬莱月考)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，则下列说法正确的是(　　) A．a＞0 B．不等式bx＋c＞0的解集为{x|x＞－12} C．a＋b＋c＞0 D．不等式cx2－bx＋a＜0