第一章 4.2 一元二次不等式及其解法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

4.2　一元二次不等式及其解法 [学习目标]　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的概念．2.掌握求一元二次不等式解集的两种方法：因式分解法和配方法． 知识点一　一元二次不等式的概念 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少？ 提示：设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x)m.由题意，得(12－x)x＞20，其中x∈{x|0＜x＜12}．整理得x2－12x＋20＜0，x∈{x|0＜x＜12}．①；求得不等式①的解集，就得到了问题的答案． 1．一元二次不等式 定义 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般表达式 ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a，b，c均为常数且a≠0 2．一元二次不等式的解集 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． [微提醒]　一元二次不等式概念中的关键词 (1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)． (2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 下列不等式(a，b，c∈R)： ①2x＋3y＞0；②ax2＞2；③x3－3x＋4≤0；④3x2－4y≥0；⑤ax2＋bx＋c＜0； ⑥(a2＋1)x2－1＞0；⑦－x2＋2x＋3＜0，其中是一元二次不等式的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 A　换换换[①不是，是二元一次不等式；②不一定是，当a≠0时是一元二次不等式，当a＝0时不是一元二次不等式；③不是，未知数的最高次数是3；④不是，是二元二次不等式；⑤不一定是，原因同②；⑥是，因为a2＋1＞0；⑦是，因为符合一元二次不等式的定义．故选A.] 　　方法技巧 　　根据一元二次不等式的定义进行判断；当二次项系数含参数时，应首先判断系数是否为0. 即时练1.(多选)下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是(　　) A．x2＋＜－1 B．x2＋mx－1＞0 C．x2＋＋1＜0 D．x2＜0 BD　换换换[由于x2＋＜－1和x2＋＋1＜0不满足一元二次不等式的定义，故A，C错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确．故选BD.] 知识点二　一元二次不等式的求解方法 下表是二次函数y＝x2－x－6的一些对应值表，抛物线是其图象． x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 根据图表，你能说出一元二次方程x2－x－6＝0的解吗？你能说出一元二次不等式x2－x－6＞0与x2－x－6≤0的解集吗？ 提示：x1＝－2，x2＝3；{x|x＜－2或x＞3}，{x|－2≤x≤3}． 一元二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，结合二次函数的图象可得一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(a＞0)的解集如下表： 学生用书第41页 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程y＝0的根 有两个不相等的实根x1，x2，其中x1＜x2 有两个相等的实根x1，x2，即x1＝x2 没有实根 函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的示意图 不等式的解集 y＞0 {x|x＜x1或x＞x2}，简记为“大于取两边” {x|x≠－} R y＜0 {x|x1＜x＜x2}，简记为“小于取中间” ∅ ∅ [微提醒]　(1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． (3)一元二次不等式解集的端点为对应方程的根． (链接教材P37例2、例3)解下列不等式： (1)2x2＋5x－3＜0；(2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1＞0；(4)－x2＋6x－10＞0. 解析：(1)Δ＝49＞0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．由图可得，原不等式的解集为. (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12＞0，解方程3x2－6x＋2＝0， 得x1＝，x2＝，作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为. (3)因为Δ＝0，所以方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实数根为x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象，如图③所示． 由图可得原不等