1.4.2一元二次不等式及其解法（教学课件）数学北师大版2019必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的定义、解法及与一元二次函数、方程的关系，通过汽车刹车距的实际情境导入，衔接预备知识中的函数与方程内容，为学生搭建从实际问题到数学抽象的学习支架。 其特色在于以情境化探究驱动学习，如通过刹车距问题引导学生抽象出不等式模型，体现数学眼光。结合数形结合与分类讨论，如含参数不等式解法的分类探究，培养数学思维。系统的题型训练与步骤化小结，帮助学生规范表达，提升解题能力，也为教师提供结构化备课资源，提高教学效率。

4 一元二次函数与一元二次不等式 4.2 一元二次不等式 及其解法 第一章 预备知识 北师大版2019·必修第一册 学 习 目 标 2 3 结合一元二次函数图象判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数. 从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。 能够借助二次函数求解一元二次不等式. 1 读教材 阅读课本P34-P35，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“一元二次不等式及其解法”吧！ 1.什么是一元二次不等式？ 2.如何求解一元二次不等式？你能概括出求解一元二次不等式的一般步骤吗？ 新课引入 汽车在行驶过程中,由于惯性,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,一般称这段距离为“刹车距”. 刹车距s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间具有确定的函数关系,不同车型的刹车距函数不同.它是分析交通事故的一个重要依据． 新课引入 车速超过40km/h属于违法,试问：哪一辆车违法超速行驶？ 甲、乙两辆汽车相向而行,由于突发情况,两车相撞.交警在现场测得甲车的刹车距超过 12 m ,但不足 15 m ,乙车的刹车距超过 11 m ,但不足 12 m .已知这两辆汽车的刹车距函数分别如下: . . 因此,只需要分别解出使不等式成立的实数 x 的取值范围,即可确认辆车的实际行驶速度是否违章. 一元二次不等式 学习过程 01 03 02 目录 1 一元二次不等式 3 题型训练 2 解一元二次不等式 新知探究 知识点一、一元二次不等式 一般地,形如,或,或,或(其中为未知数,均为常数,且)的不等式叫作一元二次不等式. 解集：一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集. 注：若无a≠0这个条件,则该不等式不一定是一元二次不等式,需对a是否为零分类讨论. 典例分析 例1：下面所给关于x的不等式,其中一定为一元二次不等式的是（    ） A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0 C．ax2+4x-7>0 D．x2<0 解： 选项A是一元一次不等式,故错误;选项B,D,不等式的最高次是二次,二次项系数不为0,故正确;当时,选项C是一元一次不等式,故不一定是一元二次不等式,即错误. 故选：BD. BD 提分笔记 1.二次项系数不为0(特别是二次项系数带有参数时要注意讨论) 2.只含有一个未知数，未知数的最高次为2 一元二次不等式的判断方法 学习过程 01 03 02 目录 1 一元二次不等式 3 题型训练 2 解一元二次不等式 新知探究 知识点二、解一元二次不等式 类比初中数学中用一次函数的图象求解一元一次不等式,我们可以利用一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集. 步骤：1．画出函数的图像； 2．求出图像与x轴交点的横坐标； 3．观察图像位于x轴上方（或下方）所对应的x取值范围． 例如：解不等式 新知探究 知识点二、解一元二次不等式 例如：解不等式 1.画出的图象 2.抛物线与𝑥轴的交点的横坐标分别是−1和3. 3.当时,一元二次函数的图象在在轴下方,满足. 所以一元二次不等式的解集为. y<0 新知探究 知识点三、一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系  方程根的判别式 方程的实数根 函数的图象 不等式 的解集 的解集 两个不等实根 两个相等实根 无实根 新知探究 知识点四、一元二次不等式的求解方法 一元二次不等式的求解方法 如何求解？ 左右两边都乘以 新知探究 知识点四、一元二次不等式的求解方法 解一元二次不等式的步骤 1.化成标准形式 ,或 ,或. 2.判定与0的关系 对于的求出方程的实根,并写出不等式的解集， 对于的,根据函数图象判断解集为R或. 典例分析 例1：求不等式的解集. 解： 因为方程的， 所以该方程有两个相等的实数根,解得， 由不等式对应的一元二次函数的图象可知,该函数开口向上,且与轴仅有一个交点. 所以不等式的解集为. 典例分析 例2：求不等式的解集. 解： 方法一：因为方程的， 所以该方程有两个不相等的实数根,解得， 由不等式对应的一元二次函数的图象可知,该函数开口向上,且与轴有两个交点. 所以不等式的解集为. 典例分析 例2：求不等式的解集. 方法二：因为方程的， 所以该方程有两个不相等的实数根,解得, 因此, 所以原不等式可转化为. 即 所以不等式的解集为. 解： 提分笔记 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1.化标准式:通过对不等式变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正. 2.求判别式：对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式. 3.求方程根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. 4.画函数图像：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的图像． 5.写解集：结合图象写出一元二次不等式的解集． 学习过程 01 03 02 目录 1 一元二次不等式 3 题型训练 2 解一元二次不等式 题型探究 不含参数一元二次不等式的解法 题型1 解： 例1： 解下列一元二次不等式 ⑴ ⑵ ⑴由,得,解得, 所以不等式的解集为; ⑵由,得,即, 解得或,所以不等式的解集为.   题型探究 解： 例1： 含参数一元二次不等式的解法 题型2 求关于的不等式的解集,其中是常数. 依题意知方程的实数根为， 且一元二次函数的图象是开口向上的抛物线. (1)当时,函数与轴的交点如下图所示, 所以原不等式的解集为. 两根大小关系不确定 分类讨论 题型探究 解： 例1： 含参数一元二次不等式的解法 题型2 求关于的不等式的解集,其中是常数. 依题意知方程的实数根为， 且一元二次函数的图象是开口向上的抛物线. (2)当时，函数与轴的交点如下图所示 所以原不等式的解集为. 两根大小关系不确定 分类讨论 题型探究 解： 例1： 含参数一元二次不等式的解法 题型2 求关于的不等式的解集,其中是常数. 依题意知方程的实数根为， 且一元二次函数的图象是开口向上的抛物线. (3)当时，函数与轴的交点如下图所示 两根大小关系不确定 分类讨论 所以原不等式的解集为. 题型探究 解： 例1： 含参数一元二次不等式的解法 题型2 求关于的不等式的解集,其中是常数. 依题意知方程的实数根为， 且一元二次函数的图象是开口向上的抛物线. 综上所述,当时,原不等式的解集为； 当时,原不等式的解集为； 当时,原不等式的解集为. 两根大小关系不确定 分类讨论 提分笔记 解含参数的一元二次不等式时常从以下方面进行考虑 1.不等式类型的讨论：二次项系数a>0,a<0,a=0. 2.判别式的讨论： . 3.不等式对应的方程根的大小的讨论： 课堂小结 一、一元二次不等式 一般地,形如,或,或,或(其中为未知数,均为常数,且)的不等式叫作一元二次不等式. 解集：一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.  方程根的判别式 方程的实数根 函数的图象 不等式 的解集 的解集 两个不等实根 两个相等实根 无实根 二、一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 课堂小结 课堂小结 三、一元二次不等式的解法 1.化成标准形式 ,或 ,或. 2.判定与0的关系 对于的求出方程的实根,并写出不等式的解集， 对于的,根据函数图象判断解集为R或. 感谢聆听! $$