第一章 4.1 一元二次函数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4.1　一元二次函数 [学习目标]　1.理解函数y＝ax2(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系．2.掌握二次函数的概念、表达式、图象与性质．会用配方法解决有关问题，能熟练地求二次函数的最值． 知识点一　一元二次函数的图象变换 请回答以下问题： 1．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ有什么关系？ 提示：①当Δ＞0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根x1，x2，此时，二次函数与x轴有两个不同的交点，x1，x2即为两交点的横坐标． ②当Δ＝0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根x1＝x2，此时，二次函数与x轴有1个交点，x1(x2)即为交点的横坐标． ③当Δ＜0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根，此时，二次函数与x轴没有交点． 2．函数y＝2(x－1)2＋2的图象可以由函数y＝2x2经过怎样的平移变换得到？ 提示：由函数y＝2x2向右平移1个单位，然后再向上平移2个单位得到y＝2(x－1)2＋2的图象． 1．抛物线：通常把一元二次函数的图象叫作抛物线． 2．一元二次函数的图象变换 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到． [微提醒]　在利用一元二次函数的图象解决问题时，应注意以下几点： (1)二次项的系数a决定函数的开口方向． (2)判别式Δ决定与x轴是否有交点． (3)对称轴的位置． (4)过定点(0，c)． 在同一坐标系中作出下列函数的图象： (1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x. 并分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象． 解析：列表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝x2 9 4 1 0 1 4 9 y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7 y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6 描点、连线即得相应函数的图象，如图所示． 由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下： 法一：　先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象． 法二：　先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图象，最后把y＝(x－1)2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象． 　　方法技巧 　　任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示： 即时练1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b2－4ac＞0，其中正确的个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 C　换换换[由图象开口向下，可知a＜0，所以①错误；图象与y轴交于正半轴，可知c＞0，所以②正确；图象与x轴有两个交点，可得b2－4ac＞0，所以③正确，所以正确的有2个．故选C.] 即时练2.将函数图象上的所有点向左平移一个单位，再向下平移两个单位得到的函数解析式为y＝2x2＋7x＋4，则原函数的解析式为(　　) A．y＝2x2＋11x＋11 B．y＝2x2＋3x＋7 C．y＝2x2＋3x＋1 D．y＝2x2＋11x＋5 C　换换换[将y＝2x2＋7x＋4函数的图象上所有点向上平移两个单位，再向右平移一个单位可得到y＝2(x－1)2＋7＋4＋2的图象，化简可得y＝2x2＋3x＋1.故选C.] 学生用书第38页 知识点二　一元二次函数的性质 你能找出函数y＝3(x＋1)2－2的对称轴和顶点坐标吗？ 你能找出函数值y随x的增大而减小，函数值y随x的增大而增大的区间吗？函数的最小值是多少？ 提示：对称轴的方程为：x＝－1；顶点坐标为(－1，－2)；函数值y随x的增大而减小的区间为，函数值y随x的增大而增大的区间为；当x＝－1时，函数的最小值为－2. 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质 函数 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 图象 a＞0 a＜0 性质 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向下，并向下无