第一章 3.2 第2课时 基本不等式的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

第2课时　基本不等式的应用 [学习目标]　1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 知识点一　利用基本不等式的变形求最值 请回答以下问题： 1．把一段长为16 cm的细铁丝弯成形状不同的矩形，矩形的长与宽分别是多少时，其面积最大？ 提示：设矩形的长与宽分别是x cm和y cm，则x＋y＝8，由≥xy得xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，即这个矩形为正方形且边长为4 cm时，其面积最大． 2．类比上面的方法，用一段细铁丝弯成面积为16 cm2形状不同的矩形，矩形的长与宽分别是多少时，其周长最小？ 提示：设矩形的长与宽分别是x cm和y cm，则xy＝16，由x＋y≥2得x＋y≥8，当且仅当x＝y＝4时等号成立，即这个矩形为正方形且边长为4 cm时，其周长最小． 利用基本不等式求最值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值； (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2． [微提醒]　(1)口诀：和定积最大，积定和最小． (2)应用基本不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正二定三相等． 已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值． 解析：法一：　因为x＞0，y＞0，＋＝1， 所以x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当即时，等号成立， 故x＋2y的最小值为18. 法二：　因为x＞0，y＞0，＋＝1，8y＋x＝xy， 所以x＝，所以y－1＞0. 所以x＋2y＝＋2y＝＋(2y－2)＋2 ＝10＋＋(2y－2)≥10＋2＝10＋8＝18，当且仅当＝2y－2， 即y＝3，x＝12时，等号成立，故x＋2y的最小值为18. [变式探究] (变条件，变结论)若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值． 解析：因为x＞0，y＞0，所以＋＝(x＋2y)·＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18. 当且仅当即时取等号， 所以当x＝，y＝时，＋取到最小值18. 　　方法技巧 利用基本不等式的变形求最值的策略 1．应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式以及使等号成立的条件． 2．特别注意“1”的代换． 即时练1.设x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值． 解析：法一：　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x. 因为x＞0，y＞0，所以x－8＞0， y＝，所以x＋y＝x＋＝x＋ ＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18， 当且仅当x－8＝，即x＝12，y＝6时，等号成立．所以x＋y的最小值是18. 法二：　由2x＋8y－xy＝0及x＞0，y＞0， 得＋＝1.所以x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝18， 当且仅当＝，即x＝12，y＝6时等号成立．所以x＋y的最小值是18. 学生用书第33页 知识点二　 基本不等式在实际问题中的应用 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ 提示：设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.由于2x＋3y≥2＝2，所以2≤18，得xy≤， 当且仅当2x＝3y时，等号成立．即Smax＝，由解得 故每间虎笼的长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼的面积最大． 利用基本不等式解决应用问题的关键在于正确构建数学模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系构建等量关系． 在解题过程中尽量向模型ax＋≥2(a＞0，b＞0，x＞0)上去转化． 某厂家拟定在2024年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不举行促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2024年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元(再投入费用不包含促销费用)，厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍． (1)将2024年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的关系式； (2)该厂家2024年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？(≈1.414，结果保留1位小数) 解析：(1)由已知，当m＝0时，x＝1，所以3－＝1，解得k＝4， 所以x＝3－，y＝x··－10－16x－m＝8x＋5－m＝5＋8－m， 化简得y＝29－－m(m≥0)． (2)y＝29－＋2＝31－， 因为m≥0，所以m＋