第一章 3.2 第1课时 基本不等式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

3.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 [学习目标]　1.掌握均值不等式及其推导过程．2.能熟练运用基本不等式比较两实数的大小．3.能初步运用均值不等式证明不等式和求最值． 知识点　基本不等式 请回答以下问题： 1．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？ 提示：正方形的边长AB＝，故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立． 2．现在我们讨论一种特别的情况，如果a＞0，b＞0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ 提示：用，分别替换上式中的a，b可得到a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．我们习惯表示成≤. 3．不等式≤是在a2＋b2≥2ab(a，b∈R)的基础上转化出来的，是否对所有的a＞0，b＞0都能成立？请给出证明． 提示：成立．证明如下： －＝＝＝≥0， 即≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 4．如图所示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，利用给出的数据，你能得到基本不等式吗？ 提示：由题图可以得到：△ACD∽△DCB，故CD＝，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤，由此也可以得出圆的半径不小于半弦． 学生用书第30页 算术平均值 如果a≥0，b≥0，称为a，b的算术平均值 几何平均值 如果a≥0，b≥0，称为a，b的几何平均值 均值不等式 设a≥0，b≥0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立 表述 两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值 [微提醒]　(1)基本不等式成立的条件是a≥0，b≥0；不等式中的a，b可以是具体的某个数，也可以是代数式． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． [记结论]　均值不等式常见的变形 ①如果a≥0，b≥0，则a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立． ②如果a，b∈R，则ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立． ③若a，b∈R, 则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 角度1　基本不等式的理解 下列结论正确的是(　　) A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4 B．当x＞0时，＋≥2 C．当x≥2时，x＋的最小值为2 D．当a，b∈R时，＋≥2 B　换换换[对于选项A，当x＜0时，＋x≥4显然不成立；对于选项B，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，x＝1时，x＋的最小值为2；对于选项D，当a，b异号时显然不成立．] 　　方法技巧 应用基本不等式时要注意以下三点 1．各项或各因式均为非负的； 2．和或积为定值； 3．各项或各因式能取得相等的值． 即“一正二定三相等”． 即时练1.给出条件①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使ab＋≥2成立的条件有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C　换换换[由基本不等式可知，要使ab＋≥2成立，则ab＞0，所以a，b同号，所以①③④均可以，故选C.] 即时练2.(多选)若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．a2＋b2≥2ab B．a＋b≥2 C．＋≥2 D．＋≥2 ACD　换换换[ a2＋b2－2ab＝2≥0，即a2＋b2≥2ab，故A对， 取a＝－1，b＝－1，此时a＋b＝－2＜2＝2，故B错， 因为ab＞0，所以＞0，所以＋≥2＝2，故C对， 因为ab＞0，所以＞0，＞0，所以＋≥2＝2，故D对．故选ACD.] 角度2　利用基本不等式证明不等式 已知x，y，z都是正数，求证：≥8xyz. 证明：因为x，y，z都是正数， 所以x＋y≥2＞0，当且仅当x＝y时，等号成立； y＋z≥2＞0，当且仅当y＝z时，等号成立； z＋x≥2＞0，当且仅当x＝z时，等号成立； 所以≥2·2·2＝8xyz， 即≥8xyz，当且仅当x＝y＝z时，等号成立， 即原不等式成立． 　　方法技巧 利用基本不等式证明不等式 　利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有1时，要注意1的代换．另外，解题中要时刻注意等号能否取到． 即时练3.已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：≥9. 证明：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋， 所以＝＝5＋2≥5＋4＝9(当且仅当a＝b＝时等号成立)． 即≥9.