第一章 3.1 不等式的性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§3　不等式 3.1　不等式的性质 [学习目标]　1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．2.学会用作差法比较两实数(代数式)的大小．3.掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题． 知识点一　实数大小比较的基本事实 如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，试用直观的方法确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来． 提示：由题图可知，题图1广告牌的面积S1＝(a2＋b2)，题图2广告牌的面积S2＝ab，观察题图得S1＞S2，即(a2＋b2)＞ab. 实数大小比较的基本事实 1．文字叙述 如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b. 反过来也成立． 2．符号表示 a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b. [微提醒]　(1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，代数式问题通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小． 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 解析：因为a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． 所以当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2＞0，a＋b＞0，a3＋b3＞a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. [变式探究] 1．(变问法)若a＞0，b＞0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？ 解析：(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)． 因为a＞0，b＞0，所以(a－b)2≥0，a＋b＞0，a2＋ab＋b2＞0. 所以a5＋b5≥a3b2＋a2b3. 2．(变问法)对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？ 解析：若a＞0，b＞0，n＞r，n，r∈N＋，则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr. 学生用书第27页 　　方法技巧 作差法比较大小的四个步骤 即时练1.下列不等式，正确的个数为(　　) ①x2＋3＞2x(x∈R)；②a3＋b3≥a2b＋ab2；③a2＋b2≥2(a－b－1)． A．0 B．1 C．2 D．3 C　换换换[①因为x2＋3－2x＝(x－1)2＋2＞0，所以x2＋3＞2x；②a3＋b3－a2b－ab2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)＝(a＋b)(a－b)2，因为(a－b)2≥0，但a＋b的符号不能确定，所以②不一定正确；③a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)．故①③正确．故选C.] 即时练2.已知x＜1，比较x3－1与2x2－2x的大小． 解析：(x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1). 因为x＜1，所以x－1＜0.又＋＞0， 所以(x－1)＜0， 即x3－1＜2x2－2x. 知识点二　不等式的性质 你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？ (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c； (4)如果a＝b，那么ac＝bc. 提示：(1)如果a＞b，那么b＜a；(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c；(3)如果a＞b，那么a＋c＞b＋c；(4)如果a＞b，若c＞0，那么ac＞bc，若c＜0，那么ac＜bc. 不等式的性质 性质 名称 性质内容 注意 1 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 不可逆 2 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c 可逆 3 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc c的符号 a＞b，c＜0⇒ac＜bc 4 同向可加性 a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d 不可逆 5 同向正值可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＜bd 不可逆 6 可开方性 a＞b＞0⇒＞ n∈N＋，n≥2 [微提醒]　(1)性质2(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据． (2)性质3(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”． (3)性质4(即同向可加性)，即“同向不等式只能