第四章 第三节 培优微课6 破解与指数函数、对数函数有关的复合函数问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

培优微课6　破解与指数函数、对数函数 有关的复合函数问题 　 3.3　对数函数y＝logax的图象和性质 第 四 章 　　与指数、对数函数有关的复合函数问题是常考的难点之一，主要涉及复合函数的单调性、奇偶性以及值域或最值等问题，解决这些问题的关键是首先理清原函数是由哪些函数复合而来，然后利用复合函数的“同增异减”的性质解决问题． 类型一　指数、对数型复合函数的单调性 　　　已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在(2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 A．(－∞，4] B．[4，＋∞) C．[－4，4] D．(－4，4] 令g(x)＝x2－ax＋3a，因为f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在(2，＋∞)上单调递减， 所以 g(x)在(2，＋∞)上单调递增，且恒大于0，所以 ≤2且g(2)≥0，所以－4≤a≤4.故选C. √ 例1 　　注意定义域优先，对数函数的真数恒大于0，然后根据复合函数的单调性解决问题．　　 方法技巧 √ √ 类型二　指数、对数型复合函数的最值(值域) 　　　若f(x)＝2－ln x(1≤x≤e4)(e为自然对数的底数)，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最小值为 A．－3 B．－2 C．0 D．6 由题意 所以1≤x≤e2，则ln x∈[0，2]，设t＝ln x，t∈[0，2]，y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2－ln x)2＋2－ln x2＝ln2x－6ln x＋6＝t2－6t＋6，又y＝t2－6t＋6＝(t－3)2－3，而t∈[0，2]，所以t＝2时，ymin＝－2，所以函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最小值为－2.故选B. √ 例2 　　本题考查求对数型复合函数的最值．解题方法是换元法，转化为二次函数求解．解题时要注意新元的取值范围．特别要注意函数的定义域，否则易出错． 方法技巧 A．[2，＋∞) B．(0，2) C．(－∞，2] D．(1，2] √ 类型三　指数、对数型复合函数的奇偶性 √ 例3 对于复合函数的奇偶性的判断方法 　　一是利用函数奇偶性的定义；二是利用奇偶性的性质判断． 方法技巧 即时练3．(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝ (a＞1)，则关于函数g(x)＝[f(x)]的叙述中正确的是 A．f(x)是奇函数 B．g(x)是偶函数 C．f(x)在R上是增函数 D．g(x)的值域是{－1，0} √ √ √ 所以－f(x)＝f(－x)，所以f(x)为奇函数，故A正确； B选项：因为g(x)＝[f(x)]，所以g(1)＝[f(1)]， 类型四　指数、对数型复合函数性质的综合应用 (1)求实数a的值； 例4 (2)判断并用定义证明该函数在定义域R上的单调性； 函数f(x)在定义域R上单调递减，证明如下： (3)若方程f(4x－b)＋f(－2x＋1)＝0在(－3，log23)内有解，求实数b的取值范围． 由于函数f(x)为奇函数，则方程f(4x－b)＋f(－2x＋1)＝0在(－3，log23)内有解时， 方程4x－b－2x＋1＝0在(－3，log23)内有解． 由4x－b－2x＋1＝0知b＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＝(2x－1)2－1，   则(2x－1)2∈[0，(3－1)2)即[0，4)．故x∈(－3，log23)时，b＝(2x－1)2－1∈[－1，3)． 即方程f(4x－b)＋f(－2x＋1)＝0在(－3，log23)内有解时，实数b的取值范围为b∈[－1，3)． 1．利用函数奇偶性的定义求出a的值，对函数化简后，再判断函数的单调性． 2．根据其单调性和奇偶性解不等式． 方法技巧 即时练4．已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)＋ax是偶函数． (1)求a的值及f(x)的最小值； (2)求不等式f(x＋2)＜f(2x－3)的解集． 索引 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 　 对 数 运 算 与 对 数 函 数 即时练1．(多选)已知正实数x，y满足log2x＋logy＜x－y，则下列关系一定正确的是 A．＜ B．x3＜y3 C．ln(y－x＋1)＞0 D．2x－y＜ 由题意，log2x－＜log2y－，设f(x)＝log2x－，显然f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故由f(x)＜f(y)，得0＜x＜y，故＞，x3＜y3，A错误，B正确；由x＜y，得y－x＋1＞1，故ln(y－x＋1)＞ln 1＝0，C正确；2x－y＜20＝1，故D不一