第四章 3.3 第2课时 对数函数y＝logax的图象和性质的综合应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

第2课时　对数函数y＝logax的图象和 性质的综合应用 　 3.3　对数函数y＝logax的图象和性质 第 四 章 学习目标 1.掌握对数型复合函数的单调性、最值、值域． 2.了解对数函数性质的综合应用． 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 应用一　对数型复合函数的单调性 例1-1 　　 讨论函数y＝loga(3x－1)的单调性． 例1-2 求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间的步骤 第一步：求出函数的定义域； 第二步：研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性； 第三步：依据“同增异减”原则，求函数y＝logaf(x)的单调区间． (1)当a＞1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性一致； (2)当0＜a＜1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反． 方法技巧 即时练1．(2023·天津高一期末)函数f(x)＝ (－x2＋6x－5)的单调递减区间是 A．(－∞，3] B．[3，＋∞) C．(1，3] D．[3，5) √ 即时练2．(2023·福建厦门月考)函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在[a，＋∞)上单调递增的一个充分不必要条件是 A．a＞0 B．a＞1 C．a＞3 D．a＞4 √ 设g(x)＝x2－2x－3，可得函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又由函数y＝lg(x2－2x－3)，满足x2－2x－3＞0，解得x＜－1或x＞3，根据复合函数的单调性，可得函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)．f(x)＝lg(x2－2x－3)在[a，＋∞)上单调递增⇔a＞3.可以得到一个充分不必要条件是：a＞4.故选D. 应用二　对数型复合函数的值域 (1)求A； 解得1＜x≤2，所以A＝(1，2]． 例2 请从①A∩B，②A∪B选一个补充横线条件后，求函数f(x)的最大值并求函数取最大值时x的值． 所以当x＝2时，f(x)取得最大值为0. 与对数函数有关的值域与最值问题的处理方法 1．求解最值问题，一定要注意转化思想的应用，求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题，一般要转化为求二次函数的最值问题，求二次函数的最值时常用配方法，配方时注意自变量的取值范围． 2．求形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数值域的步骤 (1)分解成两个函数y＝logau，u＝f(x)； (2)求f(x)的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用单调性求解y＝logau(a＞0，且a≠1)的值域． 方法技巧 即时练3．(多选)已知函数f(x)＝(log3x)2－log3x2－3，则下列说法正确的是   B．函数y＝f(x)的最大值为4 C．函数y＝f(x)的最小值为－4 D．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点 √ √ √ 即时练4．已知函数f(x)＝loga(x－1)．(a＞0，且a≠1) (1)求f(2)的值及函数f(x)的定义域； 函数f(x)＝loga(x－1)，则f(2)＝loga1＝0，由x－1＞0解得：x＞1，所以f(2)的值是0，f(x)的定义域是(1，＋∞)． (2)若函数f(x)在[2，9]上的最大值与最小值之差为3，求实数a的值． 当0＜a＜1时，f(x)＝loga(x－1)在[2，9]上单调递减，f(x)max＝f(2)＝0，f(x)min＝f(9)＝loga8，于是得0－loga8＝3，即a－3＝8，解得a＝ ，则a＝ ， 当a＞1时，f(x)＝loga(x－1)在[2，9]上单调递增，f(x)min＝f(2)＝0，f(x)max＝f(9)＝loga8，于是得loga8－0＝3，即a3＝8，解得a＝2，则a＝2， 所以实数a的值为 或2. 应用三　对数型复合函数的奇偶性 　　　已知f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)(a＞0，且a≠1)． (1)求函数y＝f(x)－g(x)的定义域； 由于f(x)＝loga(1＋x)， 例3 解得－1＜x＜1，故函数的定义域为(－1，1)． (2)判断函数y＝f(x)－g(x)的奇偶性． 所以函数h(x)＝f(x)－g(x)为奇函数． 对数型复合函数奇偶性的判断方法 　　对数函数是非奇非偶函数，但与某些函数复合后，就具有奇偶性了，如y＝log2|x|就是偶函数．证明这类函数奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义，并结合对数的运算性质． 　　为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数解析式进行化简或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔ ＝±1(f(x)≠0)，其中f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝0多用于