第四章 2 对数的运算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

§2　对数的运算 　 第四章　对数运算与对数函数 学习目标 1.理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算．2.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算． 课 时 精 练 知识点二　对数的换底公式 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　对数的运算性质 内 容 索 引 知识点一　对数的运算性质 索引 请回答以下问题： 1．将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)? 提示：由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN. 由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(M·N)． 从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)． 问题导思 3．结合问题1，若Mb＝(ap)b＝abp(b∈R)，又能有何结果？ 提示：由Mb＝abp，得logaMb＝bp＝blogaM(b∈R)． 对数的运算性质 如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么 (1)loga(M·N)＝________________； (2)loga ＝________________； (3)logaMb＝________________． 新知形成 logaM＋logaN logaM－logaN blogaM(b∈R) (1)简记为：“积对和，商对差，遇到指数就搬家”． (2)性质的逆运算仍然成立． (3)公式成立的条件是M＞0，N＞0，而不是MN＞0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义， 而log2(－2)与log2(－3)都没有意义． (4)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk＞0，k∈N*. 微提醒 　　　(链接教材P102例1)计算下列各式： 例1 (2)log2(32×42)； 原式＝log232＋log242＝5＋4＝9. 原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－(log59－log55)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2. 1．利用对数的运算化简与求值的基本原则 (1)对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理； (2)选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 2．利用对数运算性质化简求值 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用； (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式正用； (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简． 方法技巧 即时练1．计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； 原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1. (3)log327＋lg 25－7log73＋lg 4－log39·log42. 原式＝3＋(lg 25＋lg 4)－3－2× ＝lg 100－1＝2－1＝1. 索引 知识点二　对数的换底公式 索引 请回答以下问题： 1．我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log93等式子的化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？ 问题导思 2．是否对任意的logab都可以表示成logab＝ (a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)？说出你的理由． 提示：依据当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔logaN＝x推导得出． 换底公式 如果a＞0，b＞0，c＞0，且a≠1，c≠1，则logab＝________． 新知形成 　换底公式的适用条件 (1)对数换底公式成立的条件：公式中的每一个对数式都有意义． (2)对数换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底数问题转化为同底数问题后求解． 微提醒 　　换底公式的几个常用推论 记结论 　　　(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)； 例2 (2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值． 法一：因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b. 法二：因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b， (变结论)若本例(2)条件不变，求log915(用a，b表示)． 因为18b＝5，所以log185＝b. 变式探究 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 方法技巧 即时练2．设lg 2＝a，lg 3＝b，则