第三章 3 第2课时 指数函数的性质及应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

第2课时　指数函数的性质及应用 　 §3　指数函数 第 三 章 学习目标 1.通过具体实例，掌握指数函数的性质．2.学会利用指数函数性质解决求函数的定义域、值域、比较大小等问题． 课 时 精 练 知识点二　函数y＝ax与y＝ (a＞0且a≠1)的关系 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　指数函数的性质 内 容 索 引 知识点一　指数函数的性质 索引 提示：可以从函数的定义域、值域、单调性、图象的变化特征等方面考虑． 问题导思 指数函数的图象和性质 新知形成   a＞1 0＜a＜1 图象     性质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x＜0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1 当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 在R上是增函数，当x→＋∞时，y→＋∞， 当x→－∞时，y→0 在R上是减函数，当x→＋∞时，y→0 当x→－∞时，y→＋∞ 当底数a的大小不确定时，必须分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论函数的图象和性质． 微提醒 　　　(链接教材P91习题A1)求下列函数的定义域和值域： 例1 (4)y＝4x＋2x＋1＋3. 显然定义域为R.由题意，得y＝4x＋2x＋1＋3＝(2x＋1)2＋2，由于2x＞0， 所以(2x＋1)2＞1，所以y＝4x＋2x＋1＋3的值域是(3，＋∞)． 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 1．定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． 2．值域：(1)换元，令t＝f(x)； (2)求t＝f(x)的定义域x∈D； (3)求t＝f(x)的值域t∈M； (4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 方法技巧 即时练1．求下列函数的定义域和值域： 因为x应满足x－4≠0，所以x≠4，所以定义域为{x|x≠4}． 所以x≥0，所以定义域为{x|x≥0}． 所以0≤y＜1，所以此函数的值域为[0，1)． 索引 知识点二　函数y＝ax与y (a＞0 且a≠1)的关系 索引 观察函数y＝2x及y＝ 在同一坐标系中的图象，它们有什么特点和联系吗？ 提示：共同点：都在x轴上方，都过点(0，1)．不同点：y＝ 的图象是下降的，y＝2x的图象是上升的．联系：两者关于y轴对称． 问题导思 一般地，指数函数y＝ax 与y＝ (a＞0且a≠1)的图象关于_____对称，且它们在R上的单调性______． 新知形成 y轴 相反 　　　(1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是 A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 因为1.50.6＞1.50＝1，0.60.6＜0.60＝1，故1.50.6＞0.60.6，又函数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5＞0.6，所以0.61.5＜0.60.6，故0.61.5＜0.60.6＜1.50.6，即b＜a＜c.故选C. 例2 √ √ 指数函数性质应用的关注点 1．对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 2．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． 3．解不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)＞ag(x)⇒f(x)＞g(x)(a＞1)或f(x)＜g(x)(0＜a＜1)． 方法技巧 √ √ √ √ 索引 综　合　应　用 索引 (1)求a的值； 例3 (2)求函数f(x)的值域； 函数性质的综合应用 1．解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导致解题步骤繁琐或无法求解，如本题中奇偶性、单调性的应用，可以将复杂的指数运算转化为不等式问题． 2．一元二次不等式的恒成立问题，可以结合相应的一元二次函数的图象，转化为等价的条件求解，恒成立问题还可以利用分离参数，转化为最值问题等方法求解． 方法技巧 (1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性； 所以f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．所以该函数在定义域R上是减函数． (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围． 由f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，得f(t2－2t)＜－f(2t2－k)．因为f(x)是奇函数， 所以f(t2－2t)＜f(k－2t2)，由(1)知，f(x)是减函数，所以t2－2t＞k－2t2， 即3t2－2t－k＞0对任意t∈R恒成立，所以Δ＝4＋12k＜0，得k＜－ 即为所求． 所以实数k的取值范