第二章 第三节 培优微课5 抽象函数的“中心对称”与“轴对称”-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

培优微课5　抽象函数的“中心对称” 与“轴对称” 　 第 二 章 §3　函数的单调性和最值 函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美．下面通过函数自身的对称性和两个不同函数之间的对称性，这两个方面来探讨函数与对称性有关的性质． 类型一　函数自身的对称性 1．函数图象关于直线对称 2．函数图象关于点对称 　　　(1)若函数f(2x＋1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心为 A．(0，0)　 B．(1，0)　 C．(－1，0)　 D． 若f(2x＋1)是奇函数， 则f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，可得f(x)＝－f(2－x)，即函数f(x)的对称中心为(1，0)．故选B. √ 例1 (2)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)＝f(4－x)，则函数y＝f(x)的图象 A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝2对称 C．关于直线x＝3对称 D．关于直线x＝4对称 √ (3)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋4)是偶函数，f(6)＝3，f(x)在(－∞，4]上单调递减，则不等式f(2x－4)＜3的解集为 A．(4，6) B．(－∞，4) ∪(6，＋∞) C．(－∞，3) ∪(5，＋∞) D．(3，5) 因为f(x＋4)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝4对称， 则f(6)＝f(2)＝3.因为f(x)在(－∞，4]上单调递减，所以f(x)在[4，＋∞)上单调递增， 故f(2x－4)＜3等价于2＜2x－4＜6，解得3＜x＜5.故选D. √ 1．函数 y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称的充要条件为f(a＋x)＝f(b－x)(a，b为常数)． 特别地，函数 y＝f(x)的图象关于y轴对称的充要条件是f(x)＝f(－x)． 2．函数y＝f(x)的图象关于点 对称的充要条件为f(a＋x)＋f(b－x)＝c(a，b，c为常数)．特别地，函数 y ＝ f(x)的图象关于原点O对称的充要条件是f(x)＋f(－x)＝0. 方法技巧 即时练1．(多选)函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，那么 A．f(2－x)＝f(x) B．f(1－x)＝f(1＋x) C．函数y＝f(x＋1)是偶函数 D．函数y＝f(x－1)是偶函数 由f(x)的图象关于x＝1对称，可知f(2－x)＝f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)，把函数f(x)的图象向左平移1个单位可得y＝f(x＋1)的图象，关于x＝0对称，即为偶函数，把函数f(x)的图象向右平移1个单位可得y＝f(x－1)的图象，关于x＝2对称，不是偶函数．故选ABC. √ √ √ 即时练2．偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，f(4)＝2，则f(2)＝________． 偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，可得f(x)＝－f(2－x)，令x＝－2，即有f(－2)＝－f(4)，即有f(4)＝－f(－2)＝－f(2)＝2，则f(2)＝－2. －2 类型二　两个函数之间的对称 　　　设函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝3对称，则 A．g(x)＝f B．g(x)＝f(3－x) C．g(x)＝f(－3－x) D．g(x)＝f(6－x) 设点P(x，g(x))为函数y＝g(x)图象上任意一点，又点P(x，g(x))关于直线x＝3的对称点为P′(6－x，g(x))，因为函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝3对称，所以点P′(6－x，g(x))在函数f(x)的图象上，因此f(6－x)＝g(x)．故选D. √ 例2-1 　　　已知函数y＝x2＋x与y＝g(x)的图象关于点(－2，3)对称，求g(x)的解析式． 设M(x，y)为y＝g(x)上任意一点， 且M′(x′，y′)为M(x，y)关于点(－2，3)的对称点， 例2-2 因为点M′(x′，y′)在y＝x2＋x上， 代入得6－y＝(－x－4)2＋(－x－4)， 整理得y＝－x2－7x－6，所以g(x)＝－x2－7x－6. 　　两个函数的对称主要是利用图象的平移变换，得到函数的对称轴方程和对称中心的坐标． 方法技巧 即时练4．设定义在实数集R上的函数y＝f(x)，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于 A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称 法一：　设t＝x－1，则y＝f(t)与y＝f(－t)关于直线t＝0对称．即y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选D. 法二：　y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象分别由y＝f(x)与y＝f(－x)的图象同时向右平移1个单位可得，又y＝f(